1、3.2分析法学 习 目 标核 心 素 养1.了解分析法的思考过程、特点(重点)2会用分析法证明数学命题(难点)1.通过对分析法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养2通过对分析法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法2分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：1用分析法证明：要使AB，只需使CD.这里是的()A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件B根据分析法的特点，寻找的是充
2、分条件，是的充分条件，是的必要条件2欲证，只需证()A()2()2B()2()2C()2()2D()2()2A欲证，只需证，只需证()2b0，求证：.思路点拨：本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件证明要证，只需证b0，同时除以，得1，同时开方，得1，只需证2，即证，即证bb0，原不等式成立，即0，求证：a2.证明要证a2，只需证2a，即证22，即a24 4a22 4，只需证2 ，只需证42，即a22.上述不等式显然成立，故原不等式成立用分析法证明其他问题【例2】设函数f(x)ax2bxc(a0)，若函数yf(x1)的图象与f(x)的
3、图象关于y轴对称，求证：f为偶函数思路点拨：由于已知条件较为复杂，且不易与要证明的结论联系，故可从要证明的结论出发，利用分析法，从函数图象的对称轴找到证明的突破口证明要证函数f为偶函数，只需证明其对称轴为直线x0，而fax2(ab)xabc，其对称轴为x，因此只需证0，即只需证ab，又f(x1)ax2(2ab)xabc，其对称轴为x，f(x)的对称轴为x，由已知得x与x关于y轴对称，所以，得ab成立，故f为偶函数分析法证题思路1分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法2分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出
4、发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等2已知1，求证：cos sin 3(cos sin )证明要证cos sin 3(cos sin )，只需证3，只需证3，只需证1tan 3(1tan )，只需证tan .1，1tan 2tan ，即2tan 1.tan 显然成立，结论得证综合法与分析法的综合应用探究问题1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”2综合法与分析法有什么区别？提示综合法是从
5、已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因【例3】在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列；若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a1)2(b1)(c1)思路探究：可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来证明由已知条件得消去x，y得2a，且a0，b0，c0.要证(a1)2(b1)(c1)，只需证a1，因，只需证a1，即证2abc.由于2a，故只需证bc，只需证b3c3(bc)(b2c2bc)(bc)bc，即证b2c2bcbc，即证(bc)20.因为上式显然成立
6、，所以(a1)2(b1)(c1)分析综合法特点综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证3已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且三个内角A，B，C构成等差数列求证：.证明要证，即证3，即证1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，只需证c2a2acb2.A，B，C成等差数列，2BAC，又ABC180，B60.c2a2b22accos B，c2a2b2ac，c
7、2a2acb2，成立1综合法与分析法的区别与联系区别：综合法分析法推理方向顺推，由因导果逆推，执果索因解题思路探路较难，易生枝节容易探路，利于思考(优点)表述形式形式简洁，条理清晰(优点)叙述烦琐，易出错思考的侧重点侧重于已知条件提供的信息侧重于结论提供的信息联系：分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用2分析综合法常采用同时从已知和结论出发，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点，从而构建出证明的有效路径上面的思维模式可概括为下图：1判断正
8、误(1)分析法就是从结论推向已知()(2)分析法的推理过程要比综合法优越()(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明()提示(1)错误分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程(2)错误分析法和综合法各有优缺点(3)正确一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明答案(1)(2)(3)2若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是()APQBPQCPQ D由a的取值决定C当a1时，P12，Q2，PQ，故猜想当a0时，PQ.证明如下：要证PQ，只需证P2Q2，只需证2a722a72，即证a27aa27a12，只需证012.012成立，P0，b0，c0，若abc1，则的最小值为_9因为abc1，且a0，b0，c0，所以33222369.当且仅当abc时等号成立4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan Atan B).证明：ab2c.证明由题意知2，化简得2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即2sin(AB)sin Asin B，因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sin C.从而sin Asin B2sin C.由正弦定理得ab2c.命题得证