1、12椭圆的简单性质第1课时椭圆的简单几何性质1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围|x|a，|y|b|y|a，|x|b顶点坐标(a，0)、(0，b)(0，a)、(b，0)轴长长轴长2a，短轴长2b焦点坐标(c，0)(0，c)焦距2c对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点离心率e(0，1)2.当椭圆的离心率越大，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越小，则椭圆越接近于圆3(1)椭圆上到中心距离最近和最远的点：短轴端点B1或B2到中心O的距离最近；长轴端点A1或A2到中心O的距离最远(2)椭圆上一点与焦点距离的最值：点(a，0)，(a，0)(或(0，a)
2、，(0，a)与焦点F1(c，0)(或F1(0，c)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离(3)在椭圆上任取一点M，当M为短轴端点时，两焦点的张角最大，即F1MF2取到最大值 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为ac，最小值为ac.()(3)椭圆的焦点一定在长轴上()(4)椭圆的离心率决定椭圆的形状(即扁平程度)()(5)a，b，c，e中任两个量一定，椭圆的大小和形状一定()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 已知椭圆的方程为1，则此椭圆的长轴长为()A3B4C6D8解析：选D该椭圆的标准方程为1，故
3、a4，故长轴长2a8 椭圆1的离心率是()ABCD解析：选D由题意可得a5，b4，c3，故e 设P(m，n)是椭圆1上任意一点，则m的取值范围是_答案：5，51椭圆的范围椭圆的范围决定了椭圆的大小，它位于四条直线xa，yb围成的矩形内，即axa，byb.椭圆的范围在解决与椭圆有关的最值、参数的取值范围问题时，常常涉及2椭圆的离心率3(1)共离心率的椭圆方程与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆方程为k1(k10，焦点在x轴上)或k2(k20，焦点在y轴上)(2)共焦点的椭圆方程与椭圆1(ab)有相同焦点的椭圆方程为1(kmina2，b2) 利用椭圆的标准方程研究几何性质求椭圆m2x24m2y21
4、(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解椭圆的方程m2x24m2y21(m0)可转化为1，因为m2，所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a，短半轴长b，故c所以椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦点坐标为，顶点坐标为，离心率e用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式(2)确定焦点位置(3)求出a，b，c(4)写出椭圆的几何性质注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍 1.(1)已知椭圆C1：1，C2：1，则()AC1与C2顶点相同BC1与C2长轴长相同CC1与C2短轴长相同DC1与C2焦距相等(2)椭圆1上点P到右焦点的距离的()A最大值为5，最
5、小值为4B最大值为10，最小值为8C最大值为10，最小值为6D最大值为9，最小值为1解析：(1)选D由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(2，0)，(0，2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(4，0)，(0，2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D(2)选D椭圆上的点到右焦点的最大距离为ac，最小距离为ac.即最大值为9，最小值为1利用几何性质求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)短轴长2，离心率e；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6解(1)由2b2，e，得b25，a29.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为1；当焦
6、点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为1综上，所求椭圆的标准方程为1或1(2)依题意可设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，所以cb3，所以a2b2c218，故所求椭圆的方程为1由几何性质求椭圆的标准方程的常用方法(1)用待定系数法(2)注意焦点位置不能确定时，应分类讨论一般步骤是：求出a2、b2的值；确定焦点所在的坐标轴；写出标准方程 2.(1)过点A(3，0)且离心率e的椭圆的标准方程是()A1B1C1或1D1或1(2)焦点与长轴较近的端点的距离为，焦点与短轴两端点的连线互相垂直，则椭圆的标准方程是_解析
7、：(1)当焦点在x轴上时，设其标准方程为1(ab0)，由题意得得当焦点在y轴上时，设其标准方程为1(ab0)，由题意得得故椭圆的标准方程为1或1(2)由题意，ac，bc，a2b2c2，解得a210，b25，焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为1，焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为1答案：(1)C(2)1或1求椭圆的离心率已知点F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率为_解析因为ABF1F2，且ABF2为正三角形，所以在RtAF1F2中，AF2F130，令|AF1|x，则|AF2|2x，所以|F1F2|x2c，
8、再由椭圆的定义，可知|AF1|AF2|2a3x，所以e答案本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若AF1F2为正三角形”，如何求椭圆的离心率？解：如图，连接BF2因为AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，所以F2BBF1又因为BF2F130，|F1F2|2c，所以|BF1|c，|BF2|c由椭圆定义得|BF1|BF2|2a，即cc2a，所以1所以椭圆的离心率为e1求椭圆离心率的值或范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c，可借助于a2b2c2求出c或a，
9、再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 3.(1)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()ABCD2(2)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()ABCD解析：(1)选B由题意知|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|a
10、c，且三者成等比数列，则|F1F2|2|AF1|F1B|，即4c2a2c2，a25c2，所以e2，e，故选B(2)选A以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，该圆与直线bxay2ab0相切，所以a，即2b，所以a23b2，因为a2b2c2，所以，所以e易错警示因忽略讨论椭圆焦点位置致误若椭圆1的离心率为，则k_解析当焦点在x轴上时，a2k4，b24，所以c2k，因为e，所以，即，所以k当焦点在y轴上时，a24，b2k4，所以c2k.由e，所以，所以所以k1.综上可知，k或k1答案或1本例易主观认为焦点在x轴，漏掉另一个解1，从而导致答案不全面对椭圆方程1，当分母含参数时，一要注意隐含条件
11、分母m0，n0，mn，二要注意讨论焦点位置(即分母大小).1椭圆x28y21的短轴的端点坐标是()A，B(1，0)，(1，0)C(2，0)，(2，0)D(0，2)，(0，2)解析：选A椭圆方程可化为x21，焦点在x轴上，b2，b，故椭圆的短轴的端点坐标为，2焦点在x轴上的椭圆1的离心率是，则实数m的值是()A4BC1D解析：选A由题意e，得m43若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_解析：由题意2a，2b，2c成等差数列，即a，b，c成等差数列，所以2bac，又b2a2c2(ac)(ac)，所以ac，由可得所以e答案：4已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且经过点A
12、(2，0)，则椭圆的标准方程为_解析：当焦点在x轴上时，a2，b1.椭圆的标准方程为y21当焦点在y轴上时，b2，a4，椭圆的标准方程为1答案：y21或1A基础达标1椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A5，3，0.8 B10，6，0.8C5，3，0.6D10，6，0.6解析：选B将方程25x29y2225化为椭圆的标准方程为1，所以a5，b3，c4，所以e0.8，长轴长2a10，短轴长2b6.故选B2已知椭圆1(ab0)的两个顶点在直线xy4上，则此椭圆的焦点坐标是()A(5，0)B(0，5)C(，0)D(0，)解析：选C直线xy4在坐标轴上的截距为4、3，所以a4，b
13、3，所以c，故椭圆的焦点坐标为(，0)3如图，A、B、C分别为椭圆1(ab0)的顶点与焦点，若ABC90，则该椭圆的离心率为()AB1CD1解析：选A因为RtAOBRtBOC，所以，即b2ac，又b2a2c2，所以a2c2ac，即c2aca20，所以e2e10，又e(0，1)，所以e4已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，若AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为()A1By21C1D1解析：选A由椭圆的定义，可知AF1B的周长为|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|4a4，解得a.又离心率，所以c1，由a2b2c2，
14、得b，所以椭圆C的方程为15已知F1，F2是椭圆1(ab0)的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得F1PF260，则椭圆离心率e的取值范围是()ABCD解析：选C在PF1F2中，设|PF1|m，|PF2|n，则mn2a，根据余弦定理，得(2c)2m2n22mncos 60，配方得(mn)23mn4c2，所以3mn4a24c2，所以4a24c23mn33a2，即a24c2，故e2，解得e1.故选C6已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为_解析：由题意知ac3，ac1，解得a2，c1，则b23.又焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程为1
15、答案：17在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点已知点P(a，b)，F1PF2为等腰三角形，则椭圆的离心率e_解析：设F1(c，0)，F2(c，0)(c0)，由题意得|PF2|F1F2|，即2c.把b2a2c2代入，整理得210，解得1(舍去)或.所以e答案：8若椭圆1的离心率e，则实数m的取值范围为_解析：当焦点在x轴上时，可得：解得m(0，2；当焦点在y轴上时，可得：解得m8，)，故m(0，28，)答案：(0，28，)9求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形
16、，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为解：(1)由题意知，2c8，c4，所以e，所以a8，从而b2a2c248，所以椭圆的标准方程是1(2)由已知所以从而b29，所以所求椭圆的标准方程为1或110如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，求此椭圆的离心率解：设椭圆的方程为1(ab0)如题图所示，则有F1(c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，直线PF1的方程为xc，代入方程1，得y，所以P又PF2AB，所以PF1F2AOB所以，所以，所以b2c.所以b24c2，所以a2c24c2，所以所以eB能力提升11已知椭圆
17、1(ab0)，B为上顶点，F为左焦点，A为右顶点，且右顶点A到直线FB的距离为b，则该椭圆的离心率为()AB2C1D解析：选C由题意知，A(a，0)，直线BF的方程为1，即bxcybc0，由题意得b，即，1，1，所以e112焦点在x轴上，长轴长为20，短轴长为16的椭圆的内接矩形中面积最大的矩形周长为_解析：由题意得a10，b8，设内接矩形ABCD位于第一象限的顶点为A(x0，y0)，则有1，且S矩形ABCD4x0y0.由于xyx64x(100x)1 600，当且仅当x100x，即x50时“”成立此时y32，即当x05，y04时，椭圆的内接矩形面积最大，这时内接矩形周长为4(x0y0)36答案
18、：3613已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2120(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关解：(1)设椭圆方程为1(ab0)，|PF1|m，|PF2|n，则mn2a在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 120(mn)2mn4a2mn4a24a2a23a2(当且仅当mn时取等号)所以，即e又0e1，所以e的取值范围是(2)证明：由(1)知mn4b2，所以SF1PF2mnsin 120b2，即F1PF2的面积只与短轴长有关14(选做题)如图，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若2，求椭圆的方程解：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc所以ac，e(2)由题意知A(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)其中c，设B(x，y)由2(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)(，)b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，从而有b22所以椭圆方程为1