1、3.1.2不等式的性质课时过关能力提升1如果a,b,c满足cba,且acacB.c(b-a)0C.cb2ab2D.ac(a-c)0解析因为cba,且ac0,c0.所以b可能为0,也可能不为0.所以cb2b,则下列不等式成立的是()A.1ab2C.ac2+1bc2+1D.a|c|b|c|解析取a=1,b=-1,排除选项A;取a=0,b=-1,排除选项B;取c=0,排除选项D;显然1c2+10,对不等式ab的两边同时乘1c2+1,得ac2+1bc2+1.故选C.答案C3已知ab0,则下列不等式成立的是()A.3a3bB.a2b2C.3-a3-bD.-a0,b0,且a+b2,则1+ba与1+ab两数
2、应满足()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个小于2D.至少有一个大于2解析在证明时结论若是“都是”“都不是”“至少”“至多”或“”形式的不等式命题,往往考虑反证法.假设1+ba,1+ab都不小于2,则1+ba2,1+ab2,a0,b0,1+b2a,1+a2b,两式相加,得1+1+a+b2(a+b),即2a+b,这与已知a+b2矛盾.故假设不成立.即1+ba与1+ab两数中至少有一个小于2,故选C.答案C5给出下列命题:若xy,则a2xa2y;若xy,则x2n+1y1,则log1xylog1yx.其中正确命题的序号是.解析对于,当a=0时,a2x=a2y,故命题错误.对于,由幂函数y=x2n
3、+1(nN+)是增函数这一性质可知:当xy时,有x2n+1y1,得01x1y1,而函数y=logax,当0alog1xx=-1=log1yylog1yx,故命题也正确.答案6已知不等式:a0b;ba0;b0a;0ba;b0;ab,且ab0.其中能使1a1b成立的是.(填序号)解析因为1a1bb-aab0b-a与ab异号,然后再逐个进行验证,可知都能使1a1b.答案7已知4枝郁金香和5枝丁香的价格之和小于22元,6枝郁金香和3枝丁香的价格之和大于24元,设2枝郁金香的价格为A,3枝丁香的价格为B,则A,B的大小关系为.解析设每枝郁金香和每枝丁香的价格分别为x元和y元,则根据题意有:4x+5y24
4、,即4x+5y8,16x+20y88,即22x+11y16x+20y.6x9y,即2x3y.故AB.答案AB8设mR,ab1,f(x)=mxx-1,试比较f(a)与f(b)的大小.解f(a)-f(b)=maa-1-mbb-1=m(b-a)(a-1)(b-1).因为ab1,所以b-a0,b-10.所以b-a(a-1)(b-1)0时,m(b-a)(a-1)(b-1)0,所以f(a)f(b);当m0,所以f(a)f(b);当m=0时,m(b-a)(a-1)(b-1)=0,所以f(a)=f(b).9甲、乙两人同时从寝室出发到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半时间跑步.如果两人步行
5、速度、跑步速度均相同,问甲、乙两人谁先到达教室?分析先根据条件,表示出甲、乙两人到达教室的时间表达式,然后作差比较他们所用时间的多少,所用时间少的先到达教室.解设总路程为s,步行速度为v1,跑步速度为v2,显然v1v2,甲到教室所用的时间为t1,乙到教室所用时间为t2,则t1=s2v1+s2v2=s(v1+v2)2v1v2,t22(v1+v2)=s.t2=2sv1+v2.t1-t2=s(v1+v2)2-4sv1v22v1v2(v1+v2)=(v1-v2)2s2v1v2(v1+v2).v10.(v1-v2)2s2v1v2(v1+v2)0.t1t2.故乙先到教室.10如果不等式1n+1+1n+2+
6、12n112loga(a-1)+23对一切大于1的自然数n都成立,求a的最大值.分析要使得原不等式对一切大于1的自然数n都成立,只需求出函数f(n)=1n+1+1n+2+12n的最小值f(n)min.然后由f(n)min112loga(a-1)+23求解.解令f(n)=1n+1+1n+2+12n,则f(n+1)=1n+2+1n+3+12(n+1),f(n+1)-f(n)=12n+1+12n+2-1n+1=12n+1-12n+2.nN,且n2,12n+112n+2,故f(n+1)f(n).f(n)是关于n的增函数.n2,f(n)f(2)=13+14=712.由题意,得712112loga(a-1)+23loga(a-1)-1a1,a-11a1a1+52.amax=1+52.