1、12函数的极值1函数的极值的概念如图1所示，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值如图2所示，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点2函数的极值与单调性的关系如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值如果函数yf(x)在区间
2、(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值3可导函数的极值与导数的关系(1)x(a，x0)x0(x0，b)f(x)0yf(x)增加极大值减少(2)x(a，x0)x0(x0，b)f(x)0yf(x)减少极小值增加4.求可导函数yf(x)极值点的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)(2)求f(x)的拐点，即求方程f(x)0的根(3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)导数值为0的点一定是函数的极值点()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行()(3)
3、函数f(x)无极值()(4)定义在a，b上的连续函数f(x)若有极值f(x0)，则x0(a，b)()答案：(1)(2)(3)(4) 已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图像如图，则()A函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点解析：选A由yf(x)图像可知x2为f(x)的极大值点，x3为f(x)的极小值点，x1和x4不是f(x)的极值点 函数yx33x的极大值为m，极小值为n，则mn为()A0B1C2D4答案：A 设函数f(x)xln x，则f(x)的极小值为_解析：
4、f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，令f(x)0即ln x10得x，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，故当x时，fln 为f(x)的极小值答案：1极值及极值点的性质(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻域而言的(2)极值点总是f(x)定义域中的点，因而端点绝对不是函数的极值点(3)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有，函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，函数的一个极小值也不一定比极大值小(4)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值2可导函数的极值点一定是其导数为零的点；但是
5、，导数为零的点不一定是该函数的极值点，因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是这点两侧的导数异号，举例如下：(1)导数为0是极值点：f(x)x2，f(0)0，x0是极值点；(2)导数为0但不是极值点：f(x)x3，f(0)0，x0不是极值点；(3)不可导点是极值点：f(x)|x|，当x0时虽不可导，却是极小值点；f(x)x在x0不可导，但x0是极小值点(4)不可导点不是极值点：f(x)x，x0时不可导，不是极值点 求函数的极值、极值点求下列函数的极值(1)f(x)sin xcos xx1(0x0，f(x)在(，)上是增加的，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa
6、，xln ax(，ln a)，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上是减少的，在(ln a，)上是增加的，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值对于含参数函数的极值，若参数对函数的单调性(即导数的正负)有影响需对参数分类讨论 2.已知函数f(x)xa(2ln x)(a0)，求函数f(x)的单调区间与极值点解：f(x)的定义域是(0，)，f(x)1设g(x)x2ax2，对于二次方程g(x)0，判别式a28.当a280，即0a0都有f(x)0，此时f(x)在(
7、0，)上是增函数，无极值点当a280，即a2时，仅对x有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0，此时f(x)在(0，)上也是增函数，无极值点当a280，即a2时，方程g(x)0有两个不同的实数根x1，x2，0x1x2当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)f(x1)f(x2)此时f(x)在上是增加的，在(，)上是减少的，在(，)上是增加的x1是函数的极大值点，x2是函数的极小值点利用函数的极值(点)求参数的范围(值)已知函数f(x)x34xm在区间(，)上有极大值(1)求实数m的值；(2)求函数f(x)在区间(，)上的极
8、小值解(1)f(x)x24，令f(x)0，解得x12，x22当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(，2)2(2，2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知，当x2时，f(x)取得极大值f(2)8m，解得m4.故实数m的值为4(2)由m4可得f(x)x34x4，结合上表，可得f(x)在x2处取得极小值f(2)84故函数f(x)在区间(，)上的极小值为已知函数极值点或极值求参数的策略(1)根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 3.已知函数f(x)(k
9、R)(1)k为何值时，函数f(x)无极值；(2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0解：(1)因为f(x)，所以f(x)要使f(x)无极值，只需让f(x)0或f(x)0恒成立即可因为ex0，所以f(x)与g(x)2x2(k4)x2k同号因为g(x)的二次项系数为2，所以只能满足g(x)0恒成立，令(k4)216k(k4)20，解得k4，所以当k4时，f(x)无极值(2)由(1)知k4，令f(x)0，得x12，x2当2，即k4时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2，)f(x)00f(x)极小值极大值令f0，得2kk0，所以k0，满足k4当2，即k4时，当x变化时，f(x)，
10、f(x)的变化情况如下表：x(，2)2f(x)00f(x)极小值极大值令f(2)0，可得2222kk0，所以k8，满足k4综上，当k0或k8时，f(x)有极小值0思想方法数形结合思想在求解有关极值问题中的综合应用设a为实数，函数f(x)x33xa(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由解(1)令f(x)3x230，得x11，x21又因为当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)a2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，如图(1)，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程
11、f(x)0恰好有两个实数根，所以a20，a2如图(2)，当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a20，a2综上，当a2或a2时方程恰有两个实数根此类问题一般运用导数转化为函数性质的问题解决，画出函数的示意图，利用数形结合思想是解决该类问题的常用手段1函数yx33x29x(2x2)的极值情况是()A极大值为5，极小值为27B极大值为5，极小值为11C极大值为5，无极小值D极小值为27，无极大值解析：选Cy3x26x9，由y0得x1或x3(舍)，f(x)在x1时取得极大值5，无极小值，故选C2函数f(x)x33x25x9的极大值
12、点为()A1B2C3D5解析：选Af(x)x26x5，令f(x)0得x1或x5由表x(，1)1(1，5)5(5，)f(x)00f(x)极大值极小值可知极大值点为13若函数f(x)x2x在x0处有极小值，则x0等于_解析：f(x)x2xln 22x2x(xln 21)令f(x)0，解得x，当x时，f(x)0；当x时，f(x)0，所以x为f(x)的极小值点答案：4若函数f(x)x3bxb在(0，1)内有极值，则实数b的取值范围是_解析：f(x)3x2b，由题意知3x2b0在(0，1)内有实根，所以b3x2，x(0，1)，由于当x(0，1)时，3x2(0，3)，所以b(0，3)答案：(0，3) A基
13、础达标1若函数f(x)在x1处取极值，则a()A1B3C2D4解析：选Bf(x)，由题意知f(1)0，所以a32设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：选Df(x)，由f(x)0得x2，又当x(0，2)时，f(x)0，所以x2是f(x)的极小值点3函数f(x)ax3bx2cx的图像如图所示，且f(x)在xx0与x2处取得极值，则f(1)f(1)的值一定()A等于0B大于0C小于0D小于或等于0解析：选Bf(x)3ax22bxc，由f(x)的图像知当x趋于时，f(x)是增加的，所以a0，因为x02，所
14、以x020，所以b0，所以f(1)f(1)abc(abc)2b04函数f(x)ax3ax2x3有极值的充要条件是()Aa1或a0Ba1C0a1或a0，解得a1.故选D5方程x36x29x100的实根的个数是()A3B2C1D0解析：选C令f(x)x36x29x10，则f(x)3x212x9.所以f(x)3(x1)(x3)所以当x1或x3时，f(x)0，f(x)是增加的；当1x3时，f(x)0，f(x)是减少的所以f(x)极大值f(1)60.故f(x)的极大值在x轴下方，如图，即f(x)的图像与x轴只有一个交点，原方程只有一个实根，故选C6已知函数f(x)exax在区间(0，1)上有极值，则实数
15、a的取值范围是_解析：由题意f(x)exa0在(0，1)上有解，所以aex(1，e)答案：(1，e)7已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图像如图所示，则函数的极小值是_解析：由题图可知，当x0时，f(x)0，当0x2时，f(x)0，故x0时函数f(x)取极小值f(0)c答案：c8函数f(x)x33x29x3，若函数g(x)f(x)m在x2，5上有3个零点，则m的取值范围为_解析：f(x)3x26x9，令f(x)0得x11，x23.易知，由题意知，g(x)在2，5上与x轴有三个交点，所以解得1m0)，所以f(x)x5令f(x)0，解得x12，x23.当0x3时，f(x)0，故f(
16、x)在(0，2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0时，求函数f(x)的极值解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20(2)由f(x)1，x0知：当a0时，由f(x)0，解得xa又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值所以当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值B能力提升11函数f(x)x3bx2cxd的图像如图所示，则xx等于()A
17、BCD解析：选C由题图可得f(x)0的根为0，1，2，故d0，f(x)x(x2bxc)，则1，2为x2bxc0的根，由根与系数的关系得b3，c2，故f(x)x33x22x，则f(x)3x26x2，由图可得x1，x2为3x26x20的根，则x1x22，x1x2，故xx(x1x2)22x1x212已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值为10，则f(2)_解析：f(x)3x22axb所以解得或当时f(x)3(x1)20，所以在x1处不存在极值；当时，f(x)3x28x11(3x11)(x1)，所以当x时，f(x)0，所以符合此题意，所以f(2)816221618答案：1813设函数f(x)
18、x3bx2cxd(a0)，且方程f(x)9x0的两个根分别为1，4(1)当a3且曲线yf(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(，)内无极值点，求a的取值范围解：(1)由f(x)x3bx2cxd，得f(x)ax22bxc.因为f(x)9xax2(2b9)xc0的两个根分别为1，4，所以(*)当a3时，由(*)式得解得b3，c12又因为曲线yf(x)过原点，所以d0.故f(x)x33x212x(2)由于a0，因为f(x)x3bx2cxd在(，)内无极值点，所以f(x)ax22bxc0在(，)内恒成立由(*)式得2b95a，c4a，所以(2b)24ac9(a1)(a9)解得a1，9
19、，即a的取值范围为1，914(选做题)已知函数f(x)x33ax1，a0(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围解：(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0，所以当a0时，由f(x)0，解得x，由f(x)0，解得x0时，f(x)的递增区间为(，)，(，)，f(x)的递减区间为(，)(2)因为f(x)在x1处取得极值，所以f(1)3(1)23a0所以a1所以f(x)x33x1，f(x)3x23由f(x)0，解得x11，x21由(1)中f(x)的单调性，可知f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3因为直线ym与函数yf(x)的图像有三个不同的交点，结合f(x)的单调性，可知m的取值范围是(3，1)