1、3双曲线31双曲线及其标准方程1双曲线的定义平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点坐标(c，0)，(c，0)(c0)(0，c)，(0，c)(c0)a，b，c关系c2a2b2(a0，b0，c0) 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到两定点的距离之差等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线()(
2、3)焦点在y轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)()(4)在双曲线方程1(a0，b0)中，a2b2c2.()答案：(1)(2)(3)(4) 已知F1(8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|PF2|10，则P点的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C直线D一条射线解析：选D|F1F2|10，则P点的轨迹表示以F2为端点的一条射线 双曲线1的焦点坐标是()A(0，10)，(0，10)B(10，0)，(10，0)C(2，0)，(2，0)D(0，2)，(0，2)解析：选B因为a6，b8，所以c10，所以该双曲线的焦点坐标为(10，0)，(10，0) 设双曲线1的右支上一点P到左焦点F1的距离是
3、15，则P到右焦点F2的距离是_答案：71对双曲线定义的五点说明(1)在此定义中“常数要大于0且小于|F1F2|”这一限制条件十分重要，不可忽略(2)如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点)(3)如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在(4)如果定义中常数改为等于0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线(5)如果定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，动点的轨迹成为双曲线的一支 2两类双曲线标准方程的统一表示方程Ax2By21(AB0)包含双曲线的焦点在x轴上或在y轴上两种情况，方程可变形为1(AB0)(1)当0时，表示双曲
4、线的焦点在y轴上(2)当b0)1；1(a0，b0)a、b、c的关系ab0，b2a2c2a0，b0，a不一定大于b，b2c2a2焦点位置的判定通过比较x2项，y2项系数的大小进行判定比较x2项与y2项系数的正负，哪项系数为正，焦点就在哪条轴上图形特征封闭的连续曲线分两支，不封闭，不连续求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在y轴，经过点(3，4)和；(2)与双曲线1共焦点，且过点(3，2)解(1)由已知可设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则解得所以双曲线的标准方程为1(2)法一：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意易求得c2又双曲线过点(3，2)，所以1又因为
5、a2b2(2)2，所以a212，b28故所求双曲线的标准方程为1法二：设所求双曲线的标准方程为1(416)，因为双曲线过点(3，2)，所以14或14(舍去)所以所求双曲线的标准方程为1若本例(1)中，去掉“焦点在y轴”这一条件，如何求解？解：设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)共焦点的双曲线方程可设为1(b20，b0)由题意，知解得故双曲线的方程为1(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，若P点在左支上|PF2|PF1|2a；若P点在右支上|PF1|PF2|2a(2)涉及双曲线上一点与两焦点的距离问题，依据|PF1|PF2|2a求解，注意不要忽
6、略绝对值号(3)双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的PF1F2称为焦点三角形对于双曲线的焦点三角形问题常利用双曲线定义结合三角形有关知识(正、余弦定理、面积公式)求解，要注意把握整体思想的应用 2.(1)设双曲线x21的两个焦点分别为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|PF2|34，则PF1F2的面积等于()A10B8C8D16(2)设双曲线x21的左、右焦点分别为F1、F2.若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_解析：(1)设|PF1|3t，则|PF2|4t，|PF2|PF1|t2a2，所以t2，所以|PF1|6，|PF2|8，|F1
7、F2|2c26|PF1|，所以F1到PF2的距离为2，所以SPF1F2828(2)由题意不妨设点P在双曲线的右支上，F1PF2(090)，在F1PF2中，由余弦定理得cos ，整理得，|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|，现考虑两种极端情况：当PF2x轴时，cos ，|PF1|PF2|有最大值8；当F1PF2为直角时，|PF1|PF2|有最小值2因为F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|PF2|的取值范围为(2，8)答案：(1)C(2)(2，8)与双曲线有关的轨迹问题如图，在ABC中，已知|AB|4，且三个内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的
8、轨迹方程解以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理得sin A，sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径)因为2sin Asin C2sin B，所以2|BC|AB|2|AC|，从而有|AC|BC|AB|2|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)因为a，c2，所以b2c2a26，即所求轨迹方程为1(x)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程(2)寻找几何关系，若符合双曲线的定义，从而得出对应的方程求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双
9、曲线的焦点所在的坐标轴(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支 3.已知圆C1：(x3)2y29，圆C2：(x3)2y21(1)若动圆M与圆C1外切，且与圆C2内切，求动圆圆心M的轨迹方程；(2)若动圆M同时与圆C1及圆C2外切，求动圆圆心M的轨迹方程解：(1)设动圆半径为R，因为圆M与圆C1外切，且与圆C2内切，所以|MC1|R3，|MC2|R1，所以|MC1|MC2|4所以点M(x，y)的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，且有a2，c3，b2c2a25，所以所求轨迹方程为1(x2)(2)如图，设动圆半径为R，根据两圆外切的条件，得|MC2|R1，|MC1|R3，则|MC1|M
10、C2|2这表明动点M与两定点C1，C2的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的右支(点M与C1的距离大，与C2的距离小)，这里a1，c3，则b28，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x21(x1)易错警示忽略双曲线定义中的限制条件致误方程1表示双曲线，那么m的取值范围是_解析依题意有或解得3m3所以m的取值范围是m|3m3答案m|3m3(1)本例易误认为焦点在x轴上而忽略焦点在y轴上的情况.(2)对于1，当m，n0且mn时表示椭圆，当mn0时，表示双曲线.1已知双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()ABCD(，0)解析：选C将双曲线方程化为标准方程为x21，
11、所以a21，b2，所以c，故右焦点的坐标为2已知点F1(10，0)、F2(10，0)，P是双曲线1上的一点，则|PF1|PF2|()A12B12C12或12D16或12解析：选C因为|PF1|PF2|2a12，所以|PF1|PF2|123已知椭圆1与双曲线y21的公共焦点为F1，F2，点P是两条曲线的一个公共点，则cosF1PF2的值为_解析：由椭圆定义得|PF1|PF2|2，由双曲线定义得：|PF1|PF2|2，22得|PF1|2|PF2|218，22得|PF1|PF2|3，所以cosF1PF2答案：A基础达标1已知方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是()A3m0Cm0Dm3
12、或m3解析：选A因为1表示焦点在x轴上的双曲线，所以解得3m32以椭圆1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是()Ay21By21C1D1解析：选B由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且a1，c2，所以b23，所以双曲线的方程为y213已知ABP的顶点A，B分别为双曲线C：1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于()ABCD解析：选D4已知F1，F2为双曲线x2y22的左，右焦点，点P在该双曲线上，且|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()ABCD解析：选C双曲线方程可化为1，ab，c2，由得|PF2|2，|PF1|4，又因为|F1F2|2c4，在F1PF2中，由余
13、弦定理得cosF1PF25已知双曲线1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1x轴，则F1到直线F2M的距离为()ABCD解析：选C不妨设点F1(3，0)，容易计算得出|MF1|，|MF2|MF1|2解得|MF2|而|F1F2|6，在直角三角形MF1F2中，由|MF1|F1F2|MF2|d，求得F1到直线F2M的距离d为6若点P到点(0，3)与到点(0，3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为_解析：由题意并结合双曲线的定义，可知点P的轨迹方程为双曲线的上支，且c3，2a2，则a1，b2918，所以点P的轨迹方程为y21(y1)答案：y21(y1)7在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1上一
14、点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_解析：双曲线右焦点为(4，0)，将x3代入1，得y所以点M的坐标为(3，)或(3，)，所以点M到双曲线右焦点的距离为4答案：48设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则|PF1|_解析：依题意有解得|PF2|6，|PF1|8答案：89设圆C与两圆(x)2y24，(x)2y24中的一个内切，另一个外切求圆心C的轨迹L的方程解：依题意得两圆的圆心分别为F1(，0)，F2(，0)，从而可得|CF1|2|CF2|2或|CF2|2|CF1|2，所以|CF2|CF1|40，b0)，则有解得a23，b22，所以双曲线的标准方程为1(2)不妨设点M在右支上，则有|MF1|MF2|2，因为|MF1|MF2|6，所以|MF1|4，|MF2|2又|F1F2|2，因此在MF1F2中，边MF1最长，而cosMF2F10，所以MF2F1为钝角，故MF1F2为钝角三角形
