1、直线与直线垂直【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有()A.2条 B4条 C6条 D8条【解析】选D.在长方体ABCDA1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条2空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD中点，若CD2AB，EFAB，则EF与CD所成的角为()A.30 B45 C60 D90【解析】选A.取AD的中点H，连接FH，EH，EHCD，FHAB，则在EFH中EFH90，HE2HF，从而FEH30.3在正三棱柱ABCA1B
2、1C1中，若ABBB1，则AB1与BC1所成的角的大小是()A.60 B75 C90 D105【解析】选C.设BB11，如图，延长CC1至C2，使C1C2CC11，连接B1C2，则B1C2BC1，所以AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角).连接AC2，因为AB1，B1C2，AC2，所以ACABB1C，则AB1C290.4在下列四个正方体中，能得出直线AB与CD所成角为90的是()【解析】选A.对于A，作出过AB的对角面ABE，如图可得直线CD与这个对角面ABE垂直，根据线面垂直的性质，ABCD成立，故A正确；对于B，作出过AB的等边三角形截面ABE，如图，将CD平移至内侧面，可得CD与
3、AB所成角等于60，故B不成立；对于C，D，将CD平移至经过B点的侧棱处，可得AB、CD所成角都是锐角，故C和D均不成立【加固训练】 如图，在三棱锥DABC中，ACBD，且ACBD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A30 B45 C60 D90【解析】选B.如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.因为E，F分别为CD，AB的中点，所以FGAC，EGBD，且FGAC，EGBD.因为ACBD，所以FGEG，所以EFG(或其补角)为EF与AC所成的角因为ACBD，所以FGEG，所以FGE90，所以EFG为等腰直角三角形所以EFG45即EF与AC所成的角为45.二、填空题
4、(每小题5分，共10分)5如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，四边形BCC1B1为正方形，BC2AB4，ABBC，D为C1B1的中点，则异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为_【解析】如图，过点D作DFA1C1，交A1B1于点F，连接AF，则ADF为异面直线A1C1与AD所成角(或所成角的补角)，因为在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，四边形BCC1B1为正方形，BC2AB4，ABBC，D为C1B1的中点，所以由题意知AD2，DF，AF，所以异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为cos ADF，所以异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为.答案：6如图所示，已知正方
5、体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点(1)直线AB1和CC1所成的角为_；(2)直线AB1和EF所成的角为_【解析】如图(1)因为BB1CC1，所以AB1B(或其补角)即为异面直线AB1与CC1所成的角，AB1B45.答案：45(2)连接B1C，AC易得EFB1C，所以AB1C(或其补角)即为异面直线AB1和EF所成的角连接AC，则AB1C为正三角形，所以AB1C60.答案：60三、解答题(每小题10分，共20分)7(2021浦东高一检测)如图，直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC1，BAC，A1A4，点M为线段A1A的中点(1)求直三棱柱A1B1C1ABC的体积；(
6、2)求异面直线BM与B1C1所成的角的余弦值【解析】(1)因为SABC11，所以VSABCA1A42.(2)连接MC.因为BCB1C1，所以MBC或其补角是异面直线BM与B1C1所成的角，在MBC中，BMCM，BC，由余弦定理得，cos MBC.8如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1AAB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1EF.【证明】取CD1的中点G，连接EG，DG.因为E是BD1的中点，所以EGBC，EGBC.因为F是AD的中点，且ADBC，ADBC，所以DFBC，DFBC，所以EGDF，EGDF，所以四边形EFDG是平行四边形，所以EFDG，所以DGD1(或其补
7、角)是异面直线CD1与EF所成的角又A1AAB，所以四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，所以DGCD1，所以D1GD90，所以CD1EF.【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2021汾阳高一检测)如图，在棱长均为2的四棱锥SABCD中，E为SB的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为()A. B C D【解析】选B.连接DE，BD，由题意知，四棱锥SABCD为正四棱锥，所以ADBC，所以DAE即为异面直线AE与BC所成角，因为SBSD2，BD2，所以SB2SD2BD2，即SBSD，所以DE，在ADE中，AD2，AE，DE，
8、由余弦定理知，cos DAE，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.2(多选题)(2021海口高一检测)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则()A.mB直线A1E与直线C1F共面CmD直线A1E与直线C1F异面【解析】选BC.如图，连接DC1，DF，则DC1AB1，所以DC1F为异面直线AB1与C1F所成的角，因为ABAA1，ABCDA1B1C1D1为正四棱柱，E，F分别为AB，BC的中点，设AA1，则AB2，C1D，C1F，DF，所以在DFC1中，根据余弦定理，cos DC1F，所以m；连接A1C
9、1，AC，EF，则A1C1AC，EFAC，所以EFA1C1，所以A1E与C1F共面二、填空题(每小题5分，共10分)3如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面是边长为a的菱形，BAD60，AA12a，则直线A1C1与B1C成角的余弦值为_【解析】连接AC，AB1，因为直四棱柱ABCDA1B1C1D1中A1C1AC，所以ACB1是直线A1C1与B1C成角(或所成角的补角).因为底面是边长为a的菱形，BAD60，所以ACa，因为AA12a，所以AB1CB1a，所以cos ACB1.故直线A1C1与B1C成角的余弦值为.答案：4如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I
10、，J分别为AF，AD，BE，DE的中点将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为_【解析】将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直线，在三棱锥ADEF中，IJAD，GHDF，所以ADF即为所求，因此GH与IJ所成角为60.答案：60三、解答题(每小题10分，共20分)5在空间四边形ABCD中，两条对边ABCD3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且，EF，求证：ABCD.【证明】如图，连接BD，过点E作AB的平行线交BD于点O，连接OF，EF.因为EOAB且所以.因为AB3，所以EO2.又，所以，所以OFDC，所以OE与OF所成的角即为AB和CD所成的角，
11、因为DC3，所以OF1.在OEF中，OE2OF25，EF2()25，所以OE2OF2EF2，所以EOF90，所以ABCD.6如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且ABBC2，ABC120，若异面直线A1B和AD1所成的角为90，试求AA1的长【解析】连接CD1，AC，由题意得在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D1BC，A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BCD1，所以AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角因为异面直线A1B和AD1所成的角为90，所以AD1C90.因为四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，所以ACD1是等腰直角三角形，所以AD1CD1.因为底面四边形ABCD是菱形，且ABBC2，ABC120，所以AC2sin 6022，AD1CD1，在RtADD1中，AAADA1D()2222.所以AA1.