1、第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,在地平面上有一点A,测得A，C两点间距离约为60米,从A观测电视发射塔的视角(CAD)约为45,CAB=15.求这座电视发射塔的高度.BDAC604515CDBDBC,BDABtan60AB60cos15,BC60sin15.cos15?sin15?对于30，45，60等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150，210，315等角的三角函数值.我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论
2、依据.1.理解两角差的余弦公式及推导过程.(难点）3.掌握“变角”和“拆角”的方法.(重点、难点）2.掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用公式进行简单三角函数式的化简、求值.(重点）探究：两角差的余弦公式的推导oooooooo因为15=45-30,所以cos15=cos(45-30).cos(45-30)=？若 为两个任意角,则 成立吗?，cos()coscos 60,30,30)coscos30.令显然cos(6060提示:要获得 的表达式需要哪些已学过的知识？cos()涉及 的三角余弦值，可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向量的夹角公式.提示:PP1OxyA B C M如图，设角为锐角，且
3、，1PMxPAOP作轴，cos()OMOBBMOAcos APsin cos cos sin sin .法一（三角函数线）OAcossinOBcossin，,OA OBOA OB cos()cos().OA OBcoscossinsin.因为BA 1-1yxo在单位圆中cos()coscossinsin.所以 法二（向量法）x y P P1 M B O A C sincoscoscossinsin+1 1 法三（几何法）()C 差角的余弦公式,对于任意角cos()cos cos sin sin -+一句话要诀：“余余正正符号反”sin 285_解析：sin 285sin(27015)cos 1
4、5cos(6045)(cos 60cos 45sin 60sin 45)6 24.6 24【即时练习】o例1 利用差角余弦公式求cos 15 的值.cos coscos 45 cos 30sin 45 sin 30解法1:15（45-30）=2321222262.41232222226.4完成本题后，你会求的值吗？cos coscos cos 45sin 60 sin 45解法2：15（60-45）=60sin7526sin 75cos15.4把非特殊角变为特殊角,把未知角变为已知角.求 cos 105sin 195的值解析：cos 105sin 195cos 105sin(90105)cos
5、 105cos 1052cos 1052cos(13530)2(cos 135cos 30sin 135sin 30)2(22 32 22 12)2 62.【变式练习】452sin,(,),cos,5213cos().例 已知 是第三象限角，求的值24sin,(,),5231 sin;5 解：由得cos=-cos()coscossinsin35412()()51351333.65 所以（）25cos,1312sin1 cos.13 又由是第三象限角，得利用同角的三角函数关系式求值时，要注意角的范围.先求两角的正、余弦值，再代入差角的余弦公式求值.【提升总结】已知 sin 45，(0，2)，求
6、cos(23)解析：由 sin 45，且(0，2)，得 cos 35，cos(23)cos 23 cos sin 23 sin 1235 32 454 3310.【变式练习】13coscos()0,252cos.例3 已知=，=-，,求coscos().拆角思想:提示：13cos0,sin,222 解 由=，得：3cos()0,5.45 由=-，得sin(+)=coscos()cos()cossin()sin314334 3.525210 （）利用差角公式求值时，常常进行角的拆分与组合.即公式的变形应用.5()(,)2336125cos()sin()313313 因为0，解，所以因为，所以：.
7、12cos(),cos.313已知为锐角，求coscos()33cos()cossin()sin333312153125 3.13213226 【变式练习】1、已知 cos 513，(32，2)，则 cos(4)的值等于()A.5 226 B2 213C7 226D.3 213C解析：cos 513，(32，2)，sin 1cos21213，cos(4)cos cos4sin sin4 513 22(1213)22 7 226.2 cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)、22.cos110 cos50sin110 cos40.、3求值：cos110 cos50sin110 c
8、os40cos110 cos50sin110 sin50解：1cos(1100)cos60=.23().23 34、已知cos=，2，求cos(5223cos()2sin1 cos1()3因为=，2，5解所5：34以，5cos()coscossinsin3331334 3().2210 34555、已知 为三角形的内角且12cos 32 sin 12，则 _解析：12cos 32 sin cos 3cos sin 3sin cos(3)12，又 0，3323，33，23.23cos()coscossinsin 1.两角差的余弦公式：2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时,要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.3.在差角的余弦公式中，既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如 ，等.同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.，（）33 （）长期的心灰意懒以及烦恼足以致人于贫病枯萎.布朗