1、7简单几何体的再认识71柱、锥、台的侧面展开与面积1侧面积把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积2柱、锥、台的侧面积简单几何体侧面展开图侧面积公式圆柱S圆柱侧2rl，其中r为底面半径，l为侧面母线长圆锥S圆锥侧rl，其中r为底面半径，l为侧面母线长圆台S圆台侧(r1r2)l，其中r1、r2分别为上、下底面半径，l为侧面母线长正棱锥S正棱锥侧ch，其中c为底面周长，h为斜高，即侧面等腰三角形的高直棱柱S直棱柱侧ch，其中c为底面周长，h为高正棱台S正棱台侧(cc)h，其中c、c分别为下、上底面周长，h为斜高，即侧面等腰梯形的高1判断正误(正
2、确的打“”，错误的打“”)(1)把柱、锥、台的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图形状都相同，面积都相等()(2)无论是哪种几何体，它们的侧面展开图都是极为规则的平面图形()(3)空间几何体的侧面积即是表面积()(4)圆台的侧面展开图是一个扇环()答案：(1)(2)(3)(4)2已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为()A6 B12 C24 D48解析：选D.因为正四棱锥的斜高h4，所以S侧46448.3将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4 B3 C2 D解析：选C.底面圆半径为1，高为1，侧面积S2rh2112.故选C
3、.4一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为_解析：设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，则l(rR)，又32(rR)l2l2，所以l216，所以l4.答案：41圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图(1)圆柱如图，在矩形OO1BA中，OO1ABhl，AOr.圆柱的侧面展开图是一个矩形，在矩形ABCD中，ADBC2r，BD.BD是从B点绕圆柱侧面一周到A点的最短距离(2)圆锥如图，在RtOPA中，l2h2r2.圆锥的侧面展开图是一个扇形，在扇形PAA中，C2r.AA为从A点出发绕圆锥侧面一周再回到A点的最短距离(3)圆台如图，在直角梯形OOAA中，l2h2(rr)
4、2.圆台侧面展开图是一个扇环，在扇环AABB中，C2r，C2r.2多面体的侧面积(1)对于正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积求解也可以用“一个侧面的面积”“面数”来解，不一定非要用公式求解(2)不规则的多面体求侧面积时，要把每个侧面的面积解出来，再相加(3)正棱柱、正棱锥、正棱台侧面积的关系：旋转体的侧面积、表面积如图ABC为等腰三角形，ABBC2，ABC120，将ABC绕直线BC旋转一周，求所成几何体的表面积解过A向BC作垂线，如图，在RtABD中，AB2，ABD60，得AD，在RtACD中，ACB30，所以AC2AD2.ABC旋转后，AC旋转形成圆锥的侧面积：S1rl126，AB旋转形成圆锥的
5、侧面积：S2rl222，几何体的表面积为62(62).在本例条件不变的前提下，若将ABC绕直线AC旋转一周，求所成几何体的表面积解：由题意，旋转后得到的几何体是大小完全相同的圆锥组成的组合体，过B向AC作垂线，如图，在RtABH中，BHAB1，故所求几何体的表面积S2rl2124.总结圆柱、圆锥、圆台侧面积的求法，可以发现，这些空间几何体的侧面积都是通过展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法求得的这种化空间为平面的思想方法是一种常用的数学方法，在解决问题过程中具有重要作用 1.(1)若一个圆台的主视图和左视图都是一个上底长为4，下底长为10，高等于4的等腰梯形，则该圆台的侧面积等于_(2)圆
6、台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，那么圆台的表面积是多少？解：(1)设圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，高为h，母线长为l，由已知得解得l5，于是该圆台的侧面积是S(25)535.故填35.(2)如图，设圆台的上底面周长为C.因为扇环的圆心角是180，所以CSA210，所以SA20 cm，同理可得SB40 cm，所以ABSBSA20(cm)，所以S表面积S侧S上S下(r1r2)ABrr(1020)201022021 100(cm2)故圆台的表面积为1 100 cm2.简单多面体的侧面积、表面积正四棱台ABCDA1B1C1D1的两底面的边长
7、分别是4 cm和16 cm，高是12 cm.求这个棱台的侧面积和表面积解如图，由已知可得O1M142(cm)，OM168(cm)，OO112 cm.在RtM1NM中，M1M6(cm)即该正四棱台的斜高h6 cm.于是该棱台的侧面积S侧(cc)h(1664)6240(cm2)；该棱台的表面积S表S侧S1S224042162(272240)cm2.(1)求直棱柱的侧面积，即求底面周长和高的乘积，解题时可逐个求解，也可以把积作为一个整体求解(2)对于正棱锥，正棱台的表面积，求侧面的高是解题的关键(3)要分清四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体等几何体的区别与联系四棱柱直四棱柱长方体正四棱柱正方
8、体(4)正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是由全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形组成2.(1)如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，A1B12，AA14，则该几何体的表面积为()A6B24C242 D32(2)已知正四棱锥的底面边长为4 cm，高与斜高的夹角为30，则该正四棱锥的侧面积等于_cm2.(3)已知一正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积的和，求棱台的高解：(1)选C.由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，其底面边长为2，侧棱长为4，因此其侧面积S132424，其两个底面的面积S22222，于是其表面积SS1S2242，故选C.(2)
9、如图，正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成RtPOE.因为OE42(cm)，OPE30，所以PE4(cm)所以S侧面积44432(cm2)故填32.(3)如图，正三棱台ABCA1B1C1中，O，O1为两底面的中心，D，D1是BC，B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高由已知可得A1B120 cm，AB30 cm，则OD5 cm，O1D1 cm.由其侧面积等于两底面面积的和可得(6090)DD1(202302)，解得DD1(cm)在直角梯形O1ODD1中，O1O4(cm)，即棱台的高为4 cm.组合体的侧(表)面积如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方
10、米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)解由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，正四棱柱的高为4 m，底面为边长为3 m的正方形，圆锥的表面积为r2rl91524(m2)；四棱柱的一个底面积为9 m2，正四棱柱的侧面积为44348(m2)，所以外壁面积为24948(2439)(m2)所以需要油漆(2439)0.2(4.87.8)(kg)(1)求组合体的表面积的三个基本步骤要弄清楚构成它的基本几何体及组成形式根据组合体的组成形式设计计算思路根据公式计算求值 (2)求组合体的表面积的解题策略对于由基本几何体拼接成的组合
11、体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化3.(1)如图，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为_(2)已知梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD内，过点C作lCB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求所得旋转体的表面积解：(1)由该几何体的组合形式可知，其表面积应该是正方体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积故其表面积S6220.52220.52240.52241.5.故填241.5.(2)
12、如图所示，所得几何体为一个圆柱内除去一个圆锥在直角梯形ABCD中，ADa，BC2a，AB(2aa)tan 60a，DC2a.又a，所以S表S圆环S圆柱侧S圆CS圆锥侧(2a)2a222aa(2a)2a2a(94)a2.思想方法函数思想在求几何体面积最值中的应用在底面半径为R，高为h的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值解如图，设圆柱的高为x，其底面半径为r，则，所以r.圆柱的侧面积S侧2rxx(hx)(x2hx).当x时，S侧最大值，即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为，此时侧面积的最大值为.(1)在遇到旋转体的问题时，经常通过轴截面、侧面展开图来解决问题
13、，体现了“以面代体”(2)几何体的面积最值问题经常利用函数思想求解，而几何体表面及截面长度最小值问题常转化为平面问题利用几何性质加以解决1一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()A280B292C360 D372解析：选C.由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体因为下面长方体的表面积为81022821022232，上面长方体的表面积为862282262152，又因为长方体表面积重叠一部分，所以几何体的表面积为232152262360.2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是()A6 cm2 B cm2C42 cm2 D6 cm2解析：选D.该几何体
14、是底面半径为1 cm，母线长为3 cm的圆柱，则其侧面积为2rl2136(cm2)3正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，高为a，则正三棱台的侧面积为_解析：如图所示，O1，O分别为上，下底面的中心，D，D1分别为AC，A1C1的中点，在直角梯形ODD1O1中，OD2aa，O1D1aa，所以DEODO1D1a.在RtDED1中，D1E，则D1Da，所以S棱台侧3(a2a)aa2.答案：a24一个几何体的三视图如图所示(单位：m)求该几何体的表面积解：该几何体的底座是一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体，上面是一个长、宽、高分别为1，1，2的长方体，故所求表面积S2(121211)2(1112
15、21)21118(m2),学生用书P105(单独成册)A基础达标1轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A4倍B3倍C.倍 D2倍解析：选D.设轴截面正三角形的边长为2a，所以S底a2，S侧a2a2a2，所以S侧2S底2轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是()A12B23C13 D14解析：选B.设圆柱的底面半径为r，母线长为l，依题意得l2r，而S侧面积2rl，S表面积2r22rl，所以S侧面积S表面积2rl(2r22rl)23，故选B.3圆台OO的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则圆台OO的侧面积是()A54 B8C4 D16解析：选A.S圆台侧(r
16、r)l(72)654.4若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积为()A8 B5C52 D4解析：选B.由三视图可知该几何体是一个直四棱柱，底面是一个直角梯形，不垂直于底边的腰长为，于是侧面积S侧(122)15.5.如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的点B处的食物当圆柱的高等于12 cm，底面半径为3 cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是()A12 cm B cmC. cm D18 cm解析：选C.如图所示，在圆柱的侧面展开图中，BC的长为底面圆周长的一半，即BC233，蚂蚁所走路程为AB cm.所以蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是 cm.6已知圆柱
17、的侧面积为S，底面周长为c，则圆柱的母线长为_解析：设圆柱的母线长为l，则Scl，所以l.答案：7一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm，4 cm，则该棱柱的侧面积为_cm2.解析：棱柱的侧面积S侧36472(cm2)答案：728如图，在一个几何体的三视图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形，根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是_解析：如图，该几何体为底面为等腰直角三角形的直棱柱由图知ABAC，BC2，ABAC.所以S表222222124.答案：1249一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积解：由几何体的三视图知这个几何体是一个下面是
18、长方体，上面是圆锥的简单组合体，长方体底面长为3，宽为2，高为1，圆锥底面半径为1高为3，母线长为，表面积为：Srl2(212313)r212222(1).10已知正三棱锥VABC的主视图、俯视图如图所示，其中VA4，AC2，求该三棱锥的表面积解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图(如图)，且VAVBVC4，ABBCAC2.取BC的中点D，连接VD，则VDBC，有VD，则SVBCVDBC2，SABC(2)23，所以，三棱锥VABC的表面积为3SVBCSABC333()B能力提升11在一个长方体上钻一个圆柱形的孔，则钻孔后得到的几何体的表面积与原几何体相比()A变大了 B变小了C相等 D不确定
19、解析：选D.所得几何体的表面积为长方体的表面积减去两个圆柱底面积，再加上圆柱侧面积，由于长方体形状不确定，钻去的圆柱形状不确定，因此圆柱的两底面积和侧面积不确定，故选D.12过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为_解析：如图，由题意知O1A1O2A2OA123，以O1A1，O2A2，OA为底面半径的圆锥的侧面积之比为149.故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1(41)(94)135.答案：13513一个正四棱台上、下两底面边长分别为m、n，侧面积等于两个底面面积之和，求这个棱台的高解：如图，设O1、O分别为棱台上、下底面中心，M1、M分别为B1C
20、1、BC的中点，连接O1O、M1M、O1M1、OM，则M1M为斜高过M1作M1HOM于H点，则M1HOO1，S侧4(mn)M1M，S上底S下底m2n2.由已知得2(mn)M1Mm2n2，所以M1M.在RtM1HM中，MHOMO1M1(nm)，所以M1HO1O .14.(选做题)有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)解：易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，1.考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍所以S表2S下S侧222422()21236.所以该几何体的表面积为36.