1、4简单线性规划4.1二元一次不等式(组)与平面区域学 习 目 标核 心 素 养1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)(重点)2了解二元一次不等式的几何意义(重点)3能用平面区域表示二元一次不等式(组)(重点)1.通过实际情境中抽象出二元一次不等式(组)，提升数学抽象素养2利用平面区域表示二元一次不等式组，培养数学建模素养.二元一次不等式(组)与平面区域阅读教材P96P98“练习1”以上部分，完成下列问题(1)一般地，直线l：axbyc0把直角坐标平面分成了三部分直线l上的点(x，y)的坐标满足axbyc0；直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0；直线l另一侧的平面区域
2、内的点(x，y)的坐标满足axbyc0.(2)在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0by0c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域(3)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分(4)一般地，把直线l：axbyc0画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；若把直线画成虚线，则表示平面区域不包括这一边界直线(5)由于对直线axbyc0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入axbyc，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从ax0by0c的符号即可判断axbyc0(0)表示直线哪一侧的平面区域当
3、c0时，常取坐标原点作为特殊点不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交集，因而是各个不等式所表示平面区域的公共部分思考：(1)不等式axbyc0表示的平面区域在直线axbyc0的上方，axbyc0表示的平面区域在直线axbyc0的下方，这种说法正确吗？提示不正确，不等式2xy20就表示直线2xy20下方的平面区域，而不等式2xy20表示直线2xy20上方的平面区域(2)任何一个不等式组都能表示平面内的一个平面区域，这种说法正确吗？提示不正确，如不等式组就不表示任何平面区域1下列不是二元一次不等式的是()Axy20Cy22xDx2y13xy答案C2不等式组表示的平面区域是()ABCD
4、D用特殊点(0,0)验证即可3若点(2,1)在不等式x3ya0表示的平面区域内，则实数a的取值范围是_1，)由题意知231a0，故a1.4点(2，t)在直线2x3y60的上方，则实数t的取值范围是_据题意得不等式2(2)3t6，故t的取值范围是.二元一次不等式表示的平面区域【例1】(1)画出不等式3x4y120表示的平面区域；(2)画出不等式3x2y0表示的平面区域解(1)先画直线3x4y120，取原点(0,0)，代入3x4y12得120，所以原点在3x4y120表示的平面区域内，所以不等式3x4y120表示的平面区域如图阴影部分所示(2)先画直线3x2y0(画成虚线)因为点(1,0)在3x2
5、y0表示的平面区域内，所以不等式3x2y0表示的平面区域如图阴影部分所示图 图二元一次不等式表示平面区域的判定方法：第一步：直线定界画出直线axby0，不等式为axbyc0(0)时直线画虚线，不等式为axbyc0(0)时画成实线；第二步：特殊点定域在平面内取一个特殊点，当c0时，常取原点(0,0)若原点(0,0)满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域当c0时，可取(1,0)或(0,1)作为测试点简记为：直线定界，特殊点定域1画出下列不等式所表示的平面区域：(1)x2y40；(2)y2x.解(1)先画直线x2y40，取原
6、点(0,0)代入x2y4，得40，所以原点在x2y40表示的平面区域内所以不等式x2y40表示的平面区域如图阴影部分表示(2)先画直线y2x0(画成虚线)，因为点(1,0)不在y2x0表示的平面区域内，所以不等式y2x表示的平面区域如图阴影部分所示图图二元一次不等式组表示的平面区域【例2】画出不等式组所表示的平面区域解先画出直线2xy40，由于含有等号，所以画成实线取直线2xy40左下方的区域的点(0,0)，由于20040，所以不等式2xy40表示直线2xy40及其左下方的区域同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式x2y表示直线x2y右下方的区域，不等式y0表示x轴及其上方的区域取三
7、个区域的公共部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示二元一次不等式表示平面区域的画法(1)不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分(2)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可其步骤：画线；定侧；求“交”；表示但要注意是否包括边界2不等式组表示的平面区域是()ABC DC取特殊点坐标(如：(0，1)，(1,0)等)代入不等式组检验可得C符合不等式组表示平面区域的应用探究问题1已知直线xy30上两点A(1,2)，B(0,3)，又点C的坐标为(4,5)，则ABC的面积是什么？提示
8、|AB|，又点C(4,5)到直线xy30的距离为d3.故SABC33.2(1)直线方程xya0中，实数a的几何意义是什么？(2)直线l1：xy20，l2：xy10的位置关系如何？提示(1)直线xya0在y轴上的截距(2)直线l1与l2平行【例3】(1)不等式组所表示的平面区域的面积是_(2)若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是()AaB0a1C1aD0a1或a思路探究：(1)画出不等式组表示的平面区域，确定其形状并求面积(2)首先画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线xya，根据平面区域的形状确定a的取值范围(1)6(2)D(1)如图所示，其中的阴影部分便是不等式组所表示
9、的平面区域由得A(1,3)同理得B(1,1)，C(3，1)|AC|2，而点B到直线2xy50的距离为d，SABC|AC|d26. (2)作出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分)由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：xya在l1，l2之间(包括l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)1(变条件)把例3(1)中的不等式组换为求其表示平面区域的面积 解如图所示，阴影部分为不等式组表示的平面区域由，得A(8，2)，所以面积S22224.2(变条件)把例3(2)中的不等式组换为若其仍然表示一个三角形，求实数a的取值范围解如图所示，当直线ya介于直线y5(含该直线)与直线y
10、7(不含该直线)之间时，不等式组表示的平面区域是一个三角形，所以5a7.1求平面区域面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积，若画出的图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分为几个规则图形后求解2已知平面区域的形状求参数取值范围的注意点(1)要首先画出不含参数的不等式所表示的平面区域，注意直线的虚实(2)理解字母的几何意义，根据字母值的变化变动直线，查看满足题目条件时字母的值，确定其取值范围1一般地，二元一次不等式AxByC0或AxByC0在平面直角坐标系内表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域2
11、在画二元一次不等式表示的平面区域时，应用“直线定边界，特殊点定区域”的方法来画区域，取点时，若直线不过原点，一般用“原点定区域”；若直线过原点，则取点(1,0)即可，总之，尽量减少运算量3画平面区域时，注意边界线的虚实问题.1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)点(2,4)在不等式x2y1表示的平面区域内()(2)由于不等式2x10不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域()(3)不等式AxByC0与AxByC0表示的平面区域是相同的()答案(1)(2)(3)提示(1)错误，由于224101，所以点(2,4)不在不等式x2y1表示的平面区域内(2)错误，不等式2x10表示直线x右侧
12、的平面区域(3)错误，不等式AxByC0表示的平面区域不包含直线AxByC0上的一点，而AxByC0表示的平面区域则包含直线AxByC0上的点2不等式x2y60表示的区域在直线x2y60的()A右上方B右下方C左上方D左下方C如图，作出直线x2y60，又(0,0)不满足x2y60，故其表示的平面区域在直线x2y60的左上方3在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是_9平面区域如图阴影部分所示，平面区域是ABC，且A(2,2)，B(1,5)，C(1，1)，则BC边上的高h3，|BC|6，所以平面区域的面积是S369.4画出不等式组表示的平面区域解不等式xy5表示直线xy50及左下方(包括直线)的区域不等式x2y3表示直线x2y30右下方(不包括直线)的区域不等式x2y0表示直线x2y0及右上方(包括直线)的区域所以不等式组表示的平面区域如图