1、2.1.4数乘向量课时过关能力提升1.设a是非零向量,是非零实数,下列结论正确的是()A.a与-a的方向相反B.|-a|a|C.a与2a的方向相同D.|-a|=|a解析:由于0,所以20,因此a与2a方向相同.答案:C2.若AP=13PB,AB=BP,则实数的值是()A.34B.-34C.43D.-43解析:如图所示,由于AP=13PB,所以AP=14AB,即AB=4AP=-43BP,即=-43.答案:D3.已知O是ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2OA+OB+OC=0,则()A.AO=ODB.AO=2ODC.AO=3ODD.2AO=OD解析:由2OA+OB+OC=0,可知O是底边B
2、C上的中线AD的中点,故AO=OD.答案:A4.如图,在梯形ABCD中,ADBC,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且E,F分别为AB,CD的中点,则()A.EF=12(a+b+c+d)B.EF=12(a-b+c-d)C.EF=12(c+d-a-b)D.EF=12(a+b-c-d)解析:如图,连接OF,OE,则EF=OF-OE=12(OC+OD)-12(OA+OB)=12(c+d)-12(a+b).故EF=12(c+d-a-b).答案:C5.在四边形ABCD中,若DC=12AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形是()A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形解析:由DC=12AB知DC
3、AB,且|DC|=12|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为|AD|=|BC|,所以四边形ABCD是等腰梯形.答案:C6.已知四边形ABCD为菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则AP等于()A.(AB+AD),(0,1)B.(AB+BC),0,22C.(AB-AD),(0,1)D.(AB-BC),0,22解析:由已知得AB+AD=AC,而点P在AC上,必有|AP|AC|,因此AP=(AB+AD),且(0,1).答案:A7.已知ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m等于()A.2B.3C.4D.5解析:如图,在ABC中,设D是BC边的中
4、点,由MA+MB+MC=0,易知M是ABC的重心,AB+AC=2AD.又AD=32AM,AB+AC=2AD=3AM,m=3.故选B.答案:B8.已知O为ABCD的中心,AB=4e1,BC=6e2,则3e2-2e1=.答案:BO或OD(答案不唯一)9.如图,已知AP=43AB,若用OA,OB表示OP,则OP=.答案:-13OA+43OB10.给出下面四个结论:对于实数p和向量a,b,有p(a-b)=pa-pb;对于实数p,q和向量a,有(p-q)a=pa-qa;若pa=pb(pR),则a=b;若pa=qa(p,qR,a0),则p=q.其中正确结论的序号为.解析:正确;当p=0时不正确;可化为(p
5、-q)a=0,a0,p-q=0,即p=q,正确.答案:11.如图,L,M,N是ABC三边的中点,O是ABC所在平面内的任意一点,求证:OA+OB+OC=OL+OM+ON.证明OA+OB+OC=OL+LA+OM+MB+ON+NC=(OL+OM+ON)+(LA+MB+NC)=(OL+OM+ON)+12(CA+AB+BC)=(OL+OM+ON)+0=OL+OM+ON.故原式成立.12.已知在ABC中,AB=a,AC=b.对于ABC所在平面内的任意一点O,动点P满足 OP=OA+a+b,0,+).试问动点P的轨迹是否过某一个定点?并说明理由.解:是.理由:如图,以AB,AC为邻边作ABDC,设对角线AD,BC交于点E,则AE=12AD=12(a+b).由OP=OA+a+b,得OP-OA=AP=212(a+b)=2AE,0,+).故AP与AE共线.由0,+)可知动点P的轨迹是射线AE,故动点P的轨迹必过ABC的重心.
