1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.3互斥事件学 习 目 标核 心 素 养1.了解互斥事件的概念及概率加法公式2理解互斥事件和对立事件的区别和联系3掌握对立事件的概率及概率的计算公式(难点)4能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题(难点)1.通过学习互斥事件的概念及互斥事件和对立事件的区别与联系，培养数学抽象素养2通过运用互斥事件，对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题，提升数学运算素养.一、互斥事件1互斥事件的定义在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件2事件A与B至少有一个发生给定事件A，B，我们规定AB为一个事件，
2、事件AB发生是指事件A和事件B至少有一个发生根据上述定义推广可得：事件A1A2An表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，事件An中至少有一个发生3互斥事件的概率加法公式一般地，如果事件A，B互斥，那么事件AB发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B)这个公式称为互斥事件的概率加法公式如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么事件A1A2An发生(即A1，A2，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1A2A_n)P(A1)P(A2)P(An)二、对立事件及其概率的求法公式1定义在每一次试验中，如果两个事
3、件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为.2性质P(A)P()1，即P(A)1P()思考：(1)在掷骰子的试验中，事件A出现的点数为1，事件B出现的点数为奇数，事件A与事件B应有怎样的关系？(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？提示(1)因为1为奇数，所以AB.(2)看两个事件是不是互斥事件；看两个事件是否必有一个发生若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是1对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是()A互斥不对立B对立不互斥C互斥且对立 D不互斥、不对立C必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有
4、一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立2从一批产品中取出三件产品，设A三件产品全不是次品，B三件产品全是次品，C三件产品有次品，但不全是次品，则下列结论哪个是正确的()AA与C互斥BB与C互斥C任何两个都互斥 D任何两个都不互斥C由题意可知，事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥3从1,2,3，9中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个都是奇数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数在上述事件中，是对立事件的是()A BC DC从19中任取两个数，有以下三种情况(1)两个均为奇数，(2)两个均为偶数，(3)一个奇数和一个偶数，故为对
5、立事件4从几个数中任取实数x，若x(，1的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x(1,0)的概率是_02设“x(，1”为事件A，“x是负数”为事件B，“x(1,0)”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，BAC，P(B)P(A)P(C)，P(C)P(B)P(A)0.50.30.2.互斥事件与对立事件的判断【例1】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生解从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果：两男或两女或一男一女(
6、1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件但不是对立事件；(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件1判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件2判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件1(1)抛掷一
7、枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是()AA与BBB与CCA与D DB与D(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则下列结论正确的序号为_A与B是互斥而非对立事件；A与B是对立事件；B与C是互斥而非对立事件；B与C是对立事件(3)从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相
8、同)的口袋中任取2个球，观察红球个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件至少有1个白球，都是白球；至少有1个白球，至少有一个红球；至少有1个白球，都是红球解(1)C(2)(1)A与D互斥，但不对立(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，所得到的基本事件有6种：得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点、得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点事件A包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为3点、得到的点数为5点，事件B包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3
9、点，事件C包含的结果有得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点，所以B与C是对立事件故填.(3)解：不是互斥事件因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件不是互斥事件因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事件可以同时发生，故不是互斥事件是互斥事件也是对立事件因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件互斥事件的概率【例2】袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是
10、，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.(1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率思路探究从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解解(1)从袋中任取一球，记事件A为“得到红球”，B为“得到黑球”，C为“得到黄球”，D为“得到绿球”，则事件A，B，C，D两两互斥由已知P(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)1P(A)1.B与CD，BC与D也互斥，P(B)P(BCD)P(CD)，P(D)P(BCD)P(BC)，P(C)1P(ABD)1(P(A)P(B)P(D)11
11、.故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，.(2)得到的球既不是黑球也不是绿球，得到的球是红球或黄球，即事件AC，P(AC)P(A)P(C)，故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为.1解决本题的关键是明确取到不同颜色的球不可能同时发生，即互斥由此可知用概率加法公式求解2若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也用上述规律2(1)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为()
12、A0.42 B0.38C0.2 D0.8(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率解(1)C记分别摸一个球为红球、白球和黑球为事件A，B，C，则A，B，C为互斥事件，且ABC为必然事件，由题意知P(A)P(B)0.58，P(A)P(C)0.62，P(A)P(B)P(C)1，解得P(A)0.2.(2)设A，B，C分别表示炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件，事件D表示军火库爆炸，已知P(A)0.2，P(B)0.12，P(C)0.28.
13、又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A，B，C是互斥事件，且DABC，所以P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.20.120.280.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6.对立事件的概率与求法探究问题1若令A“小明考试及格”，“小明考试不及格”，则事件A与事件能不能同时发生，或者都不发生？为什么？提示：不可能同时发生，由于事件A与是互斥事件，所以不可能同时发生，事件A与也不可能都不发生，因为一次考试中，小明的成绩要么及格，要么不及格，二者必居其一，故A与必有一个发生2将一枚质地均匀的骰子随机抛掷一次，观察骰子向上一面的点数设U“出现点数的全体”，A“出现的点数是偶
14、数”，B“出现的点数是奇数”，则A，U是互斥事件吗？A，B是互斥事件吗？B，U是互斥事件吗？”提示：A，U不是互斥事件，A，B是互斥事件，B，U不是互斥事件【例3】一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率思路探究先设出有关的互斥事件，然后把所求事件的概率转化为求某些互斥事件和的概率，另外也可考虑用古典概型以及对立事件来解决解法一：利用等可能事件求概率(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有549(种)不同取法，任取1球有12种取法所以任取
15、1球得红球或黑球的概率为P1.(2)从12个球中任取一球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法从而得红球或黑球或白球的概率为P2.法二：利用互斥事件求概率记事件A1任取1球为红球；A2任取1球为黑球；A3任取1球为白球；A4任取1球为绿球，则P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4).根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).法三利用对立事件求概率的方法(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的
16、对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1A2的对立事件为A3A4.所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1.(2)A1A2A3的对立事件为A4，所以P(A1A2A3)1P(A4)1.求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.3据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30
17、.30.10.04(1)求至多2人排队等候的概率；(2)求至少2人排队等候的概率解记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A，B，C，则A，B，C两两互斥(1)至多2人排队等候的概率是P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)至少2人排队等候的反面是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为P(AB)P(A)P(B)0.10.160.26，故至少2人排队等候的概率为10.260.74.1互斥事件和对立事件既有区别又有联系互斥未必对立；对立一定互斥2互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率
18、加法公式P(AB)P(A)P(B)3求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.1思考辨析(1)已知事件A与事件B，则P(AB)P(A)P(B)()(2)若三个事件A，B，C两两互斥，则P(A)P(B)P(C)1.()(3)事件A与事件B互斥，则事件A与B互为对立事件()(4)事件A与事件B若满足P(A)P(B)1，则A，B是对立事件()解析(1)，A与B互斥时，P(AB)P(A)P(B)(2)，P(A)P(B)P(C)的值不确定(3)，A与B不一定对立(4)，例如a，b，c，d四个球，选中每个球的概率相同，事件A
19、为选中a，b两个球，则P(A)；事件B为选中b，c两个球，则P(B)，则P(A)P(B)1，但A，B不是对立事件答案(1)(2)(3)(4)2某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品从一箱产品中随机抽取1件进行检测，若“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为_005“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.650.30.95，“抽到不合格品”与抽到“一等品或二等品”是对立事件，故其概率为10.950.05.3中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率
20、为，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为_由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.4在数学考试中，小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80分89分的概率是0.51，在70分79分的概率是0.15，在60分69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.(1)求小明在数学考试中，取得80分以上(含80分)成绩的概率；(2)求小明考试及格的概率(60分才及格)解分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分89分”“在70分79分”“在60分69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69.(2)小明考试及格的概率是P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.090.93.- 12 - 版权所有高考资源网
