1、18.2第2课时从对角线判定平行四边形一、选择题1.小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时,采用了一种方法:如图1所示,将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD就是平行四边形,这种方法的依据是()A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 图1 图22.如图2,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且ABCD,添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A.AB=CD B.ADBCC.OA=OC D.AD=BC3.四边形ABCD的对角线相交于点
2、O,下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A.ABCD,ADBCB.OA=OC,OB=ODC.ADBC,AB=CDD.BAD=BCD,ABC=CDA4.顺次连结平面上A,B,C,D四点得到一个四边形,从ABCD,BC=AD,A=C,B=D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有()A.5种 B.4种 C.3种 D.1种二、填空题5.如图3,在平行四边形ABCD中,对角线交于点O,E,F为直线AC上不同的两个点,当点E,F的位置满足的条件时,四边形DEBF是平行四边形. 图3 图46.如图4,四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,记OAB,O
3、BC,OCD,ODA的面积依次为S1,S2,S3,S4.给出如下命题:若S1=S2=S3=S4,则四边形ABCD是平行四边形;若S1=S2,S3=S4,则四边形ABCD是平行四边形;若S1=S3,S2=S4,则四边形ABCD是平行四边形.其中是真命题的是(填写序号).三、解答题7.2019郴州 如图5,在平行四边形ABCD中,E是边AD的中点,连结CE并延长交BA的延长线于点F,连结AC,DF.求证:四边形ACDF是平行四边形. 图58.如图6,四边形ADBC的对角线AB与CD相交于点O,ACDB,AO=BO,E,F分别是OC,OD的中点.求证:四边形AEBF是平行四边形. 图69.如图7,四
4、边形ABCD中,AC,BD相交于点O,O是AC的中点,ADBC,AC=8,BD=6.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)若ACBD,求平行四边形ABCD的面积. 图710.如图8,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,点G,H在BD上,且AF=CE,BH=DG.求证:FGHE. 图811.如图9,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,E,F分别为OB,OD的中点,过点O作任一直线分别交AB,CD于点G,H,连结GE,EH,HF,GF.求证:四边形EHFG是平行四边形. 图912.如图10所示,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O
5、,分别与AB,CD的延长线交于点E,F,连结AF,CE.求证:四边形AECF是平行四边形. 图1013 如图11所示,已知ABC中,D是AB的中点,E是AC上的点,且ABE=BAC,EFAB,DFBE.(1)猜想:DF与AE有怎样的特殊关系?(2)证明你的猜想.图11详解详析1.解析 A由已知可得AO=CO,BO=DO,所以四边形ABCD是平行四边形,依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形.2.解析 DA项,ABCD,AB=CD,四边形ABCD是平行四边形;B项,ABCD,ADBC,四边形ABCD是平行四边形;C项,ABCD,BAO=DCO,ABO=CDO.在ABO和CDO中,BAO=DCO
6、,ABO=CDO,OA=OC,ABOCDO,OB=OD,四边形ABCD是平行四边形;D项,由ABCD,AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形.3.解析 CA.根据平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形,故能判定这个四边形是平行四边形;B选项根据平行四边形的判定定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形,故能判定这个四边形是平行四边形;C选项不能判定这个四边形是平行四边形;D选项根据两组对角分别相等可得两组对边分别平行,再根据平行四边形的定义可以判定这个四边形是平行四边形.故选C.4.答案 C5.答案 答案不唯一,如AE=CF6.答案 解析 若S1=S2=S3=S4,则由S1
7、=S2,得OA=OC,由S2=S3,得OB=OD,故是真命题;若S1=S2,S3=S4,则只能得OA=OC,故是假命题;若S1=S3,S2=S4,由于S1S2=S3S4,而S1S2=OAOC,S3S4=OCOA,所以OAOC=OCOA,从而OA2=OC2,OA=OC;同理,OB=OD.故是真命题.7.解:四边形ABCD是平行四边形,ABCD,FAE=CDE.E是AD的中点,AE=DE.又FEA=CED,FAECDE.EF=EC,四边形ACDF是平行四边形.8.证明:ACDB,ACO=BDO.在AOC与BOD中,ACO=BDO,AOC=BOD,AO=BO,AOCBOD,OC=OD.E,F分别是O
8、C,OD的中点,OE=OF.又AO=BO,四边形AEBF是平行四边形.9.解:(1)证明:O是AC的中点,OA=OC.ADBC,ADO=CBO.在AOD和COB中,ADO=CBO,AOD=COB,OA=OC,AODCOB,OD=OB,四边形ABCD是平行四边形.(2)四边形ABCD是平行四边形,ACBD,平行四边形ABCD的面积=CAD的面积+ABC的面积=12ACOD+12ACOB=12ACBD=24.10.证明:四边形ABCD是平行四边形,OA=OC.又AF=CE,AF-OA=CE-OC,即OF=OE.同理,得OG=OH,四边形EGFH是平行四边形,FGHE.11.证明:四边形ABCD是平
9、行四边形,OA=OC,OB=OD,BAO=DCO.又AOG=COH,AOGCOH,OG=OH.E,F分别为OB,OD的中点,OE=OF,四边形EHFG是平行四边形.12.证明:四边形ABCD是平行四边形,OD=OB,OA=OC,ABCD,DFO=BEO,FDO=EBO,FDOEBO,OF=OE,故四边形AECF是平行四边形.13解:(1)DF与AE相等且互相平分.(2)证明:如图,连结AF和DE.D为AB的中点,AD=BD.ABE=BAC,AE=BE.EFAB,DFBE,四边形DBEF为平行四边形,DF=BE,EF=BD,则DF=AE且EFAD,四边形ADEF为平行四边形,AE与DF互相平分, 即DF与AE相等且互相平分.
