1、高考资源网（） 您身边的高考专家6垂直关系61垂直关系的判定学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义(重点)2掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直、平面与平面垂直(重点、难点)3了解二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小(重点、易错点)1.通过应用判定定理证明空间中的垂直关系，提升逻辑推理素养2通过求解二面角的大小培养直观想象数学运算素养.1直线与平面垂直的概念及判定定理(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直(2)画法：通常把表示直线的线段画成和表示平面
2、的平行四边形的横边垂直，如图所示(3)直线与平面垂直的判定定理：文字语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言若直线a平面，直线b平面，直线la，lb，abA，则l平面思考1：若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则此直线与平面什么关系？提示：相交、垂直或在平面内2二面角(1)二面角的概念：半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面二面角的记法：以直线AB为棱、半平面，为面的二面角，记作二面角AB.(2)二
3、面角的平面角：文字语言以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角图形语言符号语言若l，OA，OB，且OAl，OBl，则AOB为二面角l的平面角取值范围0180直二面角平面角是直角的二面角叫作直二面角思考2：二面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗？提示：没关系3平面与平面垂直(1)平面与平面垂直：定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直画法把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直(如图)记法(2)平面与平面垂直的判定定理：文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么
4、这两个平面互相垂直符号语言若直线AB平面，AB平面，则思考3：若两个平面垂直，则一个平面内的直线与另一个平面有何位置关系？提示：平行、垂直、斜交1已知平面及外一直线l，给出下列命题：若l垂直于内两条直线，则l；若l垂直于内所有直线，则l；若l垂直于内任意一条直线，则l；若l垂直于内两条平行直线，则l.其中，正确命题的个数是()A0B1C2D3C根据直线与平面垂直的定义可知，正确，不正确2空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，那么有()A平面ABC平面ADCB平面ABC平面ADBC平面ABC平面DBCD平面ADC平面DBCDADBC，ADBD，BCBDB，AD平面BCD.又AD平面ADC，
5、平面ADC平面DBC.3如图所示，BCA90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中(1)与PC垂直的直线有_；(2)与AP垂直的直线有_(1)AB，BC，AC(2)BC(1)因为PC平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC.(2)BCA90，即BCAC，又BCPC，ACPCC，所以BC平面PAC，又AP平面PAC，所以BCAP.4如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为_45ABBC，ABBC1，C1BC为二面角C1ABC的平面角，其大小为45.线面垂直的判定【例1】如图所示，RtAB
6、C所在的平面外一点S，SASBSC，点D为斜边AC的中点求证：直线SD平面ABC.证明SASC，点D为斜边AC的中点，SDAC.连接BD，在RtABC中，则ADDCBD，ADSBDS，SDBD.又ACBDD，SD平面ABC.1在本例中，若ABBC，其他条件不变，求BD与平面SAC的位置关系解ABBC，点D为斜边AC的中点，BDAC.又由本例知SD平面ABC，SDBD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，故BD平面SAC.2将本例改为：已知四棱锥PABCD的底面是菱形，且PAPC，PBPD.若O是AC与BD的交点，求证：PO平面ABCD.证明在PBD中，PBPD，O为BD的中点，POBD.
7、在PAC中，PAPC，O为AC的中点，POAC，又ACBDO，PO平面ABCD.1直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理，要注意定理中的两个关键条件：平面内的两条相交直线；都垂直2要证明线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的面面垂直的判定【例2】如图所示，在四面体ABCS中，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC.求证：平面ABC平面SBC.证明法一：因为BSACSA60，SASBSC，所以ASB和ASC是等边三角形，则有SASBSCABAC，设其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形取BC的中点D，如图所示，连接A
8、D，SD，则ADBC，SDBC，所以ADS为二面角ABCS的平面角在RtBSC中，因为SBSCa，所以SDa，BDa，在RtABD中，ADa，在ADS中，因为SD2AD2SA2，所以ADS90，即二面角ABCS为直二面角，故平面ABC平面SBC.法二：因为SASBSC，且BSACSA60，所以SAABAC，所以点A在平面SBC上的射影为SBC的外心因为SBC为直角三角形，所以点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD平面SBC.又因为AD平面ABC，所以平面ABC平面SBC.证明面面垂直的方法：(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一
9、条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.1如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上求证：平面AEC平面PDB.解ACBD，ACPD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.二面角探究问题1如图所示，在三棱锥SABC中，SBC，ABC都是等边三角形，请根据二面角的平面角的定义作出二面角SBCA的平面角，并说明理由提示：取BC的中点O，连接SO，AO，因为ABAC，O是BC的中点，所以AOBC.同理可证SOBC，所以SOA是二面
10、角SBCA的平面角2在上述问题中，若BC1，SA，请计算二面角SBCA的大小提示：在AOB中，AOB90，ABO60，AB1，所以AO1sin 60.同理可求SO.又SA，所以SOA是等边三角形，所以SOA60，所以二面角SBCA的大小为60.【例3】如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在平面，C是圆周上不同于A、B的一点，且AB2，PABC1.(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)求二面角PBCA的大小解(1)证明：A，B，C在O上，O所在平面可记为平面ABC，PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.C在圆周上，且异于A、B两点，AB是O的直径，BCAC.又ACPAA，BC平面PAC.又
11、BC平面PBC，平面PAC平面PBC.(2)由(1)知，BC平面PAC，PC平面PAC，PCBC，又ACBC，PCA为二面角PBCA的平面角在RtPAC中，PA1，AC，PAC90，tanPCA，PCA30，所以二面角PBCA的大小是30.1本例条件不变，试求二面角CPAB的大小解PA平面ABC.PAAC，PAAB，CAB即为二面角CPAB的平面角，在RtACB中，易知AB2，BC1，AC，sinBAC，BAC30，二面角CPAB的大小为30.2本例条件不变，试求二面角APBC的正弦值解过A作AEPB于点E，过E作EFPB交PC于点F，连AF，则AEF即为二面角APBC的平面角(图略)由例题知
12、，BC平面PAC，又AF平面PAC，AFBC，又PBAE，PBEF，PB平面AEF，AFPB，又BCPBB，AF平面PBC.AFE为直角三角形在RtPAC中，PA1，AC.PC2，AF，在RtPAB中，PA1，AB2，PB，AE.在RtAFE中，sinAEF.1求二面角大小的关键是先找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，最后利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为：作角证明计算2要在适当位置作出二面角的平面角，就要注意观察二面角两个面的特点，如是否为等腰三角形等1直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义(2)利用线面垂直的判定定理(3)利用下面两个结论：若ab，a，则b
13、；若，a，则a.2求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”3平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直面面垂直(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决1思考辨析(1)如果一条直线和一个平面内的两条平行直线都垂直，则该直线与此平面垂直()(2)一条直线和一个平面内的所有直线垂直，则该直线与该平面垂直()(3)一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，则该直线与该平面垂直()(4)若直线l不垂直于平面，则内不存在直线垂直于直线l.()答案(1)(2)(3)(4)2对于直线m，n和平面，能得出的一个条
14、件是()Amn，m，nBmn，m，nCmn，n，m Dmn，m，nCn，mn，m，又m，由面面垂直的判定定理，.3如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小为_90PA平面ABC，BA，CA平面ABC，BAPA，CAPA，因此，BAC即为二面角BPAC的平面角又BAC90，故二面角BPAC的大小为90.4如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，E为BC的中点，把ABE和CDE沿AE、DE折起，使点B与点C重合于点P.求证：平面PED平面PAD.解由矩形ABCD知折起前ABBE，所以折起后APPE，同理PDPE，因为PDPAP，所以PE平面PAD，因为PE平面PED，所以平面PED平面PAD.- 12 - 版权所有高考资源网
