1、25函数模型及其应用25.1几种函数增长快慢的比较学习目标1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题预习导引1三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐变陡随x增大逐渐变缓随n值而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，)上，函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上(2)在区间(0，)上随着x的增大，yax(a1)增长速度越来越
2、快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢(3)存在一个x0，使得当xx0时，有logaxxnax.要点一函数模型的增长差异例1(1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()Ay10 000xBylog2xCyx1 000 Dyx(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数
3、函数变化的变量是_答案(1)D(2)y2解析(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数yx增长速度最快(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化规律方法在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a
4、1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，若xx0，有logaxxnax.跟踪演练1如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A指数函数：y2t B对数函数：ylog2tC幂函数：yt3 D二次函数：y2t2答案A解析由题中图象可知，该函数模型为指数函数要点二几种函数模型的比较例2某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201020112012产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2010
5、,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？解建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)(1)构造二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，将点坐标代入，可得解得a1，b7，c0，则f(x)x27x，故f(4)44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，将点坐标代入，可得解得a，b，c42.则g(x)x42，故g(4)44244.4，与计划误差为1
6、.4.由(1)(2)可得，f(x)x27x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系规律方法1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数2理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣跟踪演练2函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图象如图(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)解(1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)0.3x1，曲线C2对应的函数为f(x)lg
7、x.(2)当x(0，x1)时，g(x)f(x)；当x(x1，x2)时，g(x)f(x)；当x(x2，)时，g(x)f(x)函数g(x)0.3x1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.1当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()Ay100xBylog100xCyx100 Dy100x答案D解析几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.2当2x4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A2xx2log2x Bx22xlog2xC2xlog2xx2 Dx2log2x2x答案B解析方法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数ylog2x，yx2，y
8、2x，在区间(2,4)上从上往下依次是yx2，y2x，ylog2x的图象，所以x22xlog2x.方法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法可取x3，经检验易知选B.3某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致是()答案D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，得axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，yf(x)的图象大致为D中图象4某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为yalog2(x1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到()A300只 B400只C500只 D600
9、只答案A解析由已知第一年有100只，得a100.将a100，x7代入yalog2(x1)，得y300.5某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_答案yx50(0x200)解析设解析式为ykxb，由解得k，b50，yx50(0x200)三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型(3)幂函数模型yxn(n0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快一、基础达
10、标1下列函数中，增长速度最慢的是()Ay6xBylog6xCyx6 Dy6x答案B解析对数函数增长的越来越慢，故选B.2甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1v2)，则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图象为()答案B解析v1v2，前半段路程用的时间长3据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为()Ay0.9 By(10.1)mCy0.9m Dy(10.150x)m答案C解析设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)500.9，q%0.9.x年后的湖水量为y0
11、.9m.4某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是()Ay0.2x By(x22x)Cy Dy0.2log16x答案C解析将x1,2,3，y0.2,0.4,0.76分别代入验算5已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系ya(0.5)xb，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件则此厂3月份该产品产量为_万件答案1.75解析由得所以y20.5x2，所以3月份产量为y20.5321.75(万件)6在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化
12、的情况由微机记录后显示的图象如图所示现给出下列说法：前5 min温度增加的速度越来越快；前5 min温度增加的速度越来越慢；5 min以后温度保持匀速增加；5 min以后温度保持不变其中正确的说法是_答案解析因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5 min前每当t增加一个单位增量t，则y相应的增量y越来越小，而5 min后y关于t的增量保持为0，则正确7一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠”这两家旅行社的原价是一样的试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行
13、社更优惠解设家庭中孩子数为x(x1，xN)，旅游收费为y，旅游原价为a.甲旅行社收费：ya(x1)a(x3)a；乙旅行社收费：y(x2)a.(x2)a(x3)a(x1)a，当x1时，两家旅行社收费相等当x1时，甲旅行社更优惠二、能力提升8若x(1,2)，则下列结论正确的是()A2xlg x B2xlg xC2xlg x Dlg x2x答案A解析x(1,2)，2x(2,4)(1，)，lg x(0,1)2xlg x.9向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是()答案B解析(如图)取OH的中点E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大
14、于一半易知B符合题意10在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v2 000ln，则当燃料质量是火箭质量的_倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.答案e61解析由题意得2 000ln12 000.ln6，从而e61.11大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q900时，V1.(1)求出V关于Q的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数解(1)设Vklog3，当Q900时，V1，1klog3，k，V关于Q的函数解
15、析式为Vlog3.(2)令V1.5，则1.5log3，Q2 700，一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位三、探究与创新12某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费问：(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选
16、择哪种方案？通过计算加以说明(2)若工厂每月生产6 000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？解设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知y1(5025)x20.5x30 00024x30 000，y2(5025)x140.5x18x.(1)当x3 000时，y142 000，y254 000，y1y2，应选择方案二处理污水(2)当x6 000时，y1114 000，y2108 000，y1y2，应选择方案一处理污水13我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满
17、足以下公式：L110 lg(单位为分贝，L10，其中I011012，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是11012 W/m2，耳语的强度是11010 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1108 W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？解(1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L210 lg10 lg 10(分贝)；耳语的强度水平为L310 lg10 lg 10220(分贝)；恬静的无线电广播的强度水平为L410lg10lg 10440(分贝)(2)由题意知0L150，即010lg50，所以1105，即11012I1107.所以新建的安静小区的声音强度I大于等于11012W/m2，同时小于1107W/m2.