1、N单元 选修4系列目录N单元 选修4系列1N1 选修4-1 几何证明选讲1N2 选修4-2 矩阵1N3 选修4-4 参数与参数方程1N4 选修4-5 不等式选讲1N5 选修4-7 优选法与试验设计1N1 选修4-1 几何证明选讲【文宁夏银川一中高二期末2014】22.（本小题满分10分）选修41: 几何证明选讲CDEABP如图，在正ABC中，点D、E分别在边BC, AC上,且,，AD，BE相交于点P.求证：(I) 四点P、D、C、E共 圆； (II) AP CP。【知识点】【答案解析】解析：证明：（I）在中，由知：，即.所以四点共圆；（II）如图，连结.在中，,由正弦定理知由四点共圆知，,所以
2、【思路点拨】证明四点共圆一般利用定理：若四边形对角互补，则四点共圆进行证明，再利用同弧所对的圆周角相等证明第二问.【文广东惠州一中高三一调2014】15（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦，若，则 . 【知识点】与圆有关的比例线段【答案解析】4 解析 ：解：由于，而，因此，故，由于切圆于点，易知，由勾股定理可得，因此.【思路点拨】利用圆的切线的性质和勾股定理可得BC，再利用平行线的性质和全等三角形的性质可得CD=CB即可得出【理重庆一中高二期末2014】14 .如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，PEBADCE为切点，连接AE,BE，APE的平分线分别与
3、AE、BE相交于C、D，若AEB=,则PCE等于 .【知识点】弦切角的性质和应用.【答案解析】解析 ：解：PE 是圆的切线，PEB=PAC，PC是APE的平分线，EPC=APC，根据三角形的外角与内角关系有：EDC=PEB+EPC；ECD=PAC+APC，EDC=ECD，EDC为等腰三角形，又AEB=40，EDC=ECD=75，即PCE=70，故答案为：70【思路点拨】利用弦切角，以及三角形的外角与内角的关系，结合图形即可解决【理吉林长春十一中高二期末2014】22.(本小题满分10分）选修4-1：平面几何选讲 如图所示，是直径，弦的延长线交于，垂直于的延长 线于. 求证：(1)； （2）.【
4、知识点】与圆有关的比例线段;四点共圆的证明方法;三角形相似.【答案解析】(1) 见解析（2）见解析解析 ：解：（1）连AD，AB是圆O的直径，则A、D、E、F四点共圆， 5分（2）由（1）知,又 即 即 5分【思路点拨】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，再利用三角形得到比例式，最后利用线段间的关系即求得N2 选修4-2 矩阵N3 选修4-4 参数与参数方程【浙江效实中学高一期末2014】19已知曲线，（1）化的方程为普通方程；（2）若上的点对应的参数为为上的动点，求中点到直线距离的最小值【知识点】参数方程、
5、点到直线的距离【答案解析】（1） ，；（2）.解析：解：(1)由曲线得，平方相加得，由得，平方相加得；(2)由已知得P点坐标为(4，4)，设Q点坐标为(8cos，3sin)，则M点坐标为，又直线的普通方程为x2y7=0，所以M到直线的距离为【思路点拨】参数方程化普通方程常见的方法有代入消参和利用正弦和余弦平方和等于1消元，当直接利用参数方程不方便时可考虑化成普通方程解答.【文宁夏银川一中高二期末2014】23.（本小题满分10分）选修44: 坐标系与参数方程已知直线为参数), 曲线 （为参数）. (I)设与相交于两点,求；(II)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到
6、曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.【知识点】直线与圆、椭圆的参数方程、点到直线距离公式【答案解析】C解析：解：（I）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,则. （II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是 ,由此当时,取得最小值,且最小值为.【思路点拨】一般由参数方程研究直线与曲线位置关系不方便时，可化成普通方程进行解答，当遇到圆锥曲线上的点到直线的距离问题时可选择用圆锥曲线的参数方程设点求距离.【文黑龙江哈六中高二期末考试2014】21. （本小题满分12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为（
7、1）求的参数方程；（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标。【知识点】参数方程化成普通方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的参数方程【答案解析】（1），（2）或解析 ：解：（1）半圆C的极坐标方程，即，化为直角坐标方程为 -3分令故半圆C的参数方程为， -3分（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，直线和直线平行，故直线和直线斜率相等设点的坐标为（，），（1，0），解得，即或，故点的坐标为或-6分【思路点拨】（1）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为，令可得半圆C的参数方程；（2）由题意可得直线CD和直线平行，设点的坐标为（，），根据直线CD和直线的斜率
8、相等求得 的值，可得 的值，从而得到点D的坐标【文广东惠州一中高三一调2014】14（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：，则圆截直线所得弦长为 .【知识点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系【答案解析】 解析 ：解：圆（为参数）表示的曲线是以点为圆心，以为半径的圆，将直线的方程化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离，故圆截直线所得弦长.【思路点拨】首先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，再利用圆心到直线的距离公式即可求出【理重庆一中高二期末2014】15、直线（为参数,）与圆（为参数）相交所得的弦长的取值范围
9、是 .【知识点】参数方程化成普通方程极坐标方程化成普通方程【答案解析】解析 ：解：直线（为参数,）化为普通方程是即圆（为参数）化为普通方程是，因为当时，弦长减小，故当时，直线为此时弦心距时，由勾股定理得半弦长为，故此时弦长为，同理当时，可求得弦长为.故答案为：【思路点拨】把直线与圆的参数方程化为普通方程，画出图形，结合图形，求出直线被圆截得的弦长的最大值与最小值即可【理宁夏银川一中高二期末2014】19. (本小题满分12分)在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆，直线的极坐标方程分别为(1)求与的交点的极坐标；(2)设为的圆心，为与的交点连线的中点，已知直线的参数方程为求的
10、值。【知识点】参数方程与极坐标【答案解析】(1);(2)解析：解：由得，圆的直角坐标方程为直线的直角坐标方程分别为由解得所以圆，直线的交点直角坐标为再由，将交点的直角坐标化为极坐标所以与的交点的极坐标由知，点，的直角坐标为故直线的直角坐标方程为 由于直线的参数方程为消去参数 对照可得解得【思路点拨】一般遇到曲线的参数方程与极坐标方程时，若直接解答不方便可转化为普通方程或直角坐标方程进行解答.【理宁夏银川一中高二期末2014】8曲线C：）上两点A、B所对应的参数是t1, t2, 且t1+t2=0，则|AB|等于（ ）A|2p(t1-t2)| B. 2p(t1-t2) C. 2p(t12+t22)
11、 D. 2p(t1-t2)2【知识点】抛物线的参数方程【答案解析】A解析：解：由已知得A、B的坐标分别为，则，则选A.【思路点拨】利用抛物线的参数方程对点A、B对应的参数可写出其对应的坐标，再利用两点间距离公式即可解答.【理宁夏银川一中高二期末2014】7若点P(x,y)在椭圆上,则x+y的最大值为()A. 3+B. 5+C. 5D. 6【知识点】椭圆的参数方程的应用【答案解析】A解析：解：椭圆的参数方程为，则x+y=，所以选A.【思路点拨】利用椭圆的参数方程转化为三角求最值问题，再利用asinx+bcosx的最大值为解答即可.【理宁夏银川一中高二期末2014】6若直线的参数方程为为参数),则
12、直线的斜率为()A. B. C. D. 【知识点】直线的参数方程【答案解析】D解析：解：由直线的参数方程得y2=(x1)，所以直线的斜率为，选D.【思路点拨】由直线的参数方程求其斜率，可把直线的参数方程化为普通方程再进行判断.【理宁夏银川一中高二期末2014】5极坐标方程2cos2=1所表示的曲线是()A圆B. 两条相交直线 C. 椭圆 D. 双曲线【知识点】极坐标方程与直角坐标方程的互化【答案解析】D解析：解：因为，所以极坐标方程2cos2=1所表示的曲线是双曲线，则选D.【思路点拨】在判断极坐标方程表示的曲线形状不方便时，可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式把方程转化为直角坐标方程进行
13、判断.【理宁夏银川一中高二期末2014】3. 在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）A. 和 B. 和C. 和 D. 和【知识点】直线与圆的位置关系、直线与圆的极坐标方程【答案解析】B解析：解：因为圆圆心在极轴上且过极点与点(2，0)，则极点与点(2，0)即为直线与圆相切的切点，所以过极点与点(2，0)垂直于极轴的方程分别为和【思路点拨】熟悉常见的圆与直线的极坐标方程是本题解题的关键，由所给的圆的极坐标方程即可确定圆心位置，进而确定圆的切线切点，再结合切点位置确定切线的极坐标方程.【理吉林长春十一中高二期末2014】23.(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极
14、坐标系的原点在直角坐标系的原点处，极轴为轴正半轴，直线的参数 方程为，曲线的极坐标方程为（1）写出的直角坐标方程，并说明是什么曲线？（2）设直线与曲线相交于两点，求.【知识点】参数方程化为普通方程的方法;把极坐标方程化为直角坐标方程的方法;参数的几何意义【答案解析】（1） 圆 （2）解析 ：解：（）=4cos，2=4cos，（2分） 由2=x2+y2，cos=x得：x2+y2=4x，所以曲线C的直角坐标方程为（x2）2+y2=4，（4分）它是以（2，0）为圆心，半径为2的圆（5分）（）把代入x2+y2=4x整理得，（7分）设其两根分别为t1、t2，则，（8分）（10分）【思路点拨】（）由=4c
15、os可得2=4cos，故曲线C的直角坐标方程为（x2）2+y2=4，它是以（2，0）为圆心，半径为2的圆（）把参数方程代入x2+y2=4x整理得，利用根与系数的关系求得，根据 求得结果【理吉林长春十一中高二期末2014】14. 直线被曲线所截得的弦长为_【知识点】直线的参数方程；直线与圆相交的性质；简单曲线的极坐标方程【答案解析】解析 ：解：曲线的极坐标方程为，直角坐标方程是：，直线的普通方程是：，圆心到直线的距离为，则直线被曲线截得的弦长为故答案为：【思路点拨】先将极坐标方程两边同乘以后化成直角坐标方程，将直线l的参数方程化成普通方程，再求直线l被曲线C截得的弦长【理黑龙江哈六中高二期末20
16、14】19在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线,已知过点的直线的参数方程为:（为参数）,直线与曲线分别交于两点(1)写出曲线和直线的普通方程；(2)若成等比数列,求的值【知识点】极坐标与直角坐标的互化公式;方程思想;直线L的参数方程中的参数的几何意义.【答案解析】(1) (2) 解析 ：解：(1)由得曲线C: 消去参数可求得直线的普通方程为（4分）(2)将直线的参数方程为（为参数）,代入中得设M、N两点对应的参数分别为则有，（6分）解得：（8分）【思路点拨】(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数即可得到直线的直
17、角坐标方程；(2)将直线的参数方程，代入曲线C的方程，利用参数的几何意义即可得出，从而建立关于的方程，求解即可【理黑龙江哈六中高二期末2014】9. 在极坐标系中,直线与曲线相交于两点, 为极点,则的大小为（） 【知识点】极坐标方程化为直角坐标方程的方法;直线和圆的位置关系.【答案解析】A解析 ：解：直线即，曲线即，即，表示以C为圆心，以1为半径的圆如图RtADC中，在AOC中，故选 C【思路点拨】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出AC，DC的值，可得的值，从而得到的值【理黑龙江哈六中高二期末2014】4若直线的参数方程为，则直线的斜率为( ) 【知识点】参数方程化为普通方程;根据直线的方程求
18、直线的斜率.【答案解析】D解析 ：解：直线的参数方程为，消去参数化为普通方程可得故直线的斜率等于故选：D【思路点拨】把直线的参数方程消去参数化为普通方程，从而得到直线的斜率【理广东惠州一中高三一调2014】14（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，分别是直线和APOB圆上的动点，则两点之间距离的最小值是 .【知识点】极坐标方程与普通方程的互化；点到直线的距离.【答案解析】 解析 ：解：由题意，直线，圆的标准方程，则圆心到直线的距离为，且圆半径，故.【思路点拨】先把直线与圆的极坐标方程转化为普通方程，再利用点到直线的距离公式即可.【理甘肃兰州一中高二期末2014】16. （本小题满分6分）在直角
19、坐标系中，已知点，曲线的参数方程为为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（）判断点与直线的位置关系，说明理由；（）设直线与曲线的两个交点为、，求的值.【知识点】参数方程、极坐标方程转化为普通方程；参数方程的几何意义.【答案解析】（）点在直线上（）解析 ：解：（）直线的方程可化为 ，即化为直角坐标方程为，将点代人上式满足，故点在直线上. 2分（）直线的参数方程为为参数）， 3分曲线的直角坐标方程为，将直线的参数方程代人曲线的方程并整理得 ，所以 6分【思路点拨】（）把直线的极坐标方程方程化为普通方程后代入点检验即可判断；（）直线的参数方程化为普通方程后利用的几何
20、意义可得结果.【理甘肃兰州一中高二期末2014】14.如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆的参数方程为 . 【知识点】圆的参数方程;圆的标准方程;锐角三角函数定义;解直角三角形.【答案解析】为参数）解析 ：解：设过原点的直线与圆的另外一个交点为，圆可以转化为，所以，故圆的参数方程为为参数）.故答案为:为参数）.【思路点拨】将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出OP，进而表示出x与y，即为圆的参数方程.【理甘肃兰州一中高二期末2014】8.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为(t为参数)以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin，
21、则直线和曲线C的公共点有( )0个 1个 2个 无数个【知识点】参数方程化为普通方程;极坐标方程化为直角坐标方程;点到直线的距离公式;直线和圆的位置关系的判定.【答案解析】B解析 ：解：把直线l的参数方程（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为，表示一条直线曲线C的极坐标方程为4sin，即，表示以为圆心，以为半径的圆圆心到直线的距离等于，故直线和圆相切，故直线和曲线C的公共点的个数为 1，故选B【思路点拨】把参数方程化为普通方程，得到方程表示一条直线把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，表示一个圆圆心到直线的距离等于半径，可得直线和圆相切，从而得到结论【理甘肃兰州一中高二期末2014】6.在极
22、坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）A 和 B 和 C 和 D 和 【知识点】圆的极坐标方程;直线的极坐标方程.【答案解析】B解析 ：解：如图所示，在极坐标系中圆是以（2，0）为圆心，2为半径的圆,故圆的两条切线方程分别为 和故选B【思路点拨】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出【理甘肃兰州一中高二期末2014】4已知曲线的参数方程为为参数），则曲线的普通方程为（ ）A B C D【知识点】参数方程化成普通方程【答案解析】A解析 ：解：的两边平方可得，联立可得，而，故选A.【思路点拨】把两式化简代入，再求出x的范围即可.N4 选修4-5 不等式选讲【文宁夏银川一中高二期
23、末2014】24（本小题满分10分）选修45: 不等式选讲已知函数(I)若不等式的解集为，求实数a的值；(II)在(I)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围【知识点】绝对值不等式的解法【答案解析】解析：解：（）由得，即，。（）由（）知,令，则，的最小值为4，故实数的取值范围是。【思路点拨】解绝对值不等式的常用方法有：一、利用绝对值不等式性质直接进行转化，二、零点分段讨论去绝对值解不等式，三、利用函数的图象解不等式；对于不等式恒成立及不等式有解问题通常转化为函数的最值问题.【文宁夏银川一中高二期末2014】12设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0），则= A. B. C. D.
24、 【知识点】偶函数的性质、绝对值不等式【答案解析】B解析：解：，解得x0或x4，所以选B.【思路点拨】因为知道x0时函数f(x)的解析式,利用偶函数的性质可进行转化，再代入已知解析式解不等式.【文广东惠州一中高三一调2014】10已知函数则实数的取值范围是A. B. C. D.【知识点】函数的奇偶性；函数的单调性；绝对值不等式的解法.【答案解析】C 解析 ：解：由偶函数定义可得是偶函数，故，原不等式等价于，又根据偶函数定义，函数在单调递增，或利用图象求范围选C.【思路点拨】由函数是偶函数可得,进而解即可.【理宁夏银川一中高二期末2014】14若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 .【知识
25、点】绝对值不等式【答案解析】a8解析：解：因为，所以若，则a8.【思路点拨】一般遇到不等式恒成立问题及不等式无解等问题，通常转化为最值问题求解，本题中若不等式无解，只需a小于等于左边的最小值.【理吉林长春十一中高二期末2014】24.(本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数 （1）解不等式； （2）求函数的最小值.【知识点】绝对值不等式的解法；函数单调性的性质【答案解析】（1）（2）解析 ：解：f（x）=（1）由，解得x7；，解得x4；，解得x4；综上可知不等式的解集为x|x7或x（2）如图可知f（x）min=【思路点拨】根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|x4|中的
26、绝对值符号，求解不等式f（x）2，画出函数函数f（x）的图象，根据图象求得函数f（x）的最小值【理甘肃兰州一中高二期末2014】17. （本小题满分8分）设函数（）若，解不等式；（）若函数有最小值，求的取值范围.【知识点】绝对值不等式的解法；函数的最小值.【答案解析】（）（）解析 ：解：（）当时，当时，可化为 ，解得 ； 当时，可化为 ，解得 .综上可得，原不等式的解集为 4分（） 6分函数有最小值的充要条件为即 8分【思路点拨】（）当时，可得到的解析式，然后利用绝对值的意义去绝对值，再转化为不等式组，解之即可；（）把函数去绝对值，利用函数有最小值的充要条件解出的取值范围.【理甘肃兰州一中高二
27、期末2014】5. 若存在实数使成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【知识点】绝对值不等式的解法【答案解析】D解析 ：解：存在实数使成立，即不等式有解，只需即可，当且仅当时，取“=”号，得故选：D【思路点拨】要使不等式有解，只需，先用表示的最小值，再解关于的绝对值不等式即可N5 选修4-7 优选法与试验设计【理广东惠州一中高三一调2014】11用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有_个.【知识点】有限制条件的排列问题；优限法.【答案解析】12解析 ：解：由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，当末位是时，前三位将，三个数字任意排列，则有种排法，末位为时一样有种，两类共有：种，故共有没有重复数字的偶数个.【思路点拨】本题为有限制条件的排列问题，一定要先按排限制位即个位，个位有两种情况，再分类分别求个数，最后求和即可.