1、基础诊断考点突破课堂总结第6讲 正弦定理和余弦定理 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.正、余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理公式asin A_2Ra2_；b2_；c2_bsin Bcsin Cb2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C基础诊断考点突破课堂总结常见变形(1)a2Rsin A，b_，c_；(2)sin A a2R，sin B_，sin C；(3)abc_；(4)asin Bbsi
2、n A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A_；cos B_；cos C_2Rsin B2Rsin Cb2Rc2Rsin Asin Bsin Cb2c2a22bcc2a2b22aca2b2c22ab2.SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R 12(abc)r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.基础诊断考点突破课堂总结3.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 absin bsin A aab ab 解的个数 _ _ _ _ _ 一解两解一解一解无解基础诊断考点突破课堂总结诊 断
3、 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案(1)(2)(3)(4)(5)基础诊断考点突破课堂总结2.(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a 5，c2，cos A23，则 b()A.2B.3C.2 D.3解析 由余弦定理，得 5b22
4、22b223，解得 b3b13舍去，故选 D.答案 D 基础诊断考点突破课堂总结3.(2017郑州预测)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若b3cos B asin A，则 cos B()A.12B.12C.32D.32解析 由正弦定理知 sin B3cos Bsin Asin A1，即 tan B 3，由 B(0，)，所以 B3，所以 cos Bcos312，故选 B.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结4.在ABC 中，A60，AB2，且ABC 的面积为 32，则 BC 的长为()A.32B.3C.2 3D.2解析 因为 S12ABACsin A122 32 AC 3
5、2，所以 AC1，所以 BC2AB2AC22ABACcos 603，所以 BC 3.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结5.(教材改编)在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_.解析 由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案 等腰三角形或直角三角形 基础诊断考点突破课堂总结考点一 利用正、余弦定理解三角形【例 1】(1)在ABC 中，已知 a2，b 6，A45，则满足条件的三角形有()A.1 个B.2 个C.0 个D.无法确定(2)(
6、2016天津卷)在ABC 中，若 AB 13，BC3，C120，则 AC()A.1 B.2 C.3 D.4(3)(2015广东卷)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a 3，sin B12，C6，则 b_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)bsin A 6 22 3，bsin Aab.满足条件的三角形有 2 个.(2)在ABC 中，设 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.则由 c2a2b22abcos C，得 139b23b，即 b23b40，解得 b1，因此 AC1.基础诊断考点突破课堂总结(3)因为 sin B12且 B(0，)，所以 B6 或 B56.又 C6
7、，BC0，sin A1，即 A2.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结【迁移探究 1】将本例条件变为“若 2sin Acos Bsin C”，那么ABC 一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析 法一 由已知得 2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即 sin(AB)0，因为AB0)，由余弦定理可得基础诊断考点突破课堂总结cos Ca2b2c22ab25k2121k2169k22511k2 231100，又C(0，)，C2，ABC 为钝角三角形.答案 C 基础诊断考点突破课堂总结【迁移探究3】将本例条件变为“若a
8、2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C”，试确定ABC的形状.解 法一 利用边的关系来判断：由正弦定理得sin Csin Bcb，由 2cos Asin Bsin C，有 cos A sin C2sin B c2b.又由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc，c2bb2c2a22bc，基础诊断考点突破课堂总结即 c2b2c2a2，所以 a2b2，所以 ab.又a2b2c2ab.2b2c2b2，所以 b2c2，bc，abc.ABC 为等边三角形.法二 利用角的关系来判断：ABC180，sin Csin(AB)，又2cos Asin Bsin C，基础诊断考点突破课堂总结2cos A
9、sin Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0，又A 与 B 均为ABC 的内角，所以 AB.又由 a2b2c2ab，由余弦定理，得 cos Ca2b2c22ab ab2ab12，又 0C180，所以 C60，ABC 为等边三角形.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)判定三角形形状的途径：化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.(2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.基础诊断考点突破课堂总结考点三 和三
10、角形面积有关的问题【例 3】(2016全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求 C；(2)若 c 7，ABC 的面积为3 32，求ABC 的周长.解(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csin(AB)sin C，基础诊断考点突破课堂总结故 2sin Ccos Csin C.由 C(0，)知 sin C0，可得 cos C12，所以 C3.(2)由已知，12absin C3 32，又 C3，所以 ab6，由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7
11、，故 a2b213，从而(ab)225.所以ABC 的周长为 5 7.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式 S12absin C12acsin B12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(2017日照模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2ab)cos Cccos B0.(1)求角C的值；(2)若三边a，b，c满足ab13，c7，求ABC的面积.解(1)根据正弦定理，(2ab)cos Cccos B0可化为(2si
12、n Asin B)cos Csin Ccos B0.整理得2sin Acos Csin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)sin A.基础诊断考点突破课堂总结0A，sin A0，cos C12.又0C，C3.(2)由(1)知 cos C12，又 ab13，c7，由余弦定理得 c2a2b22abcos C(ab)23ab1693ab49，解得 ab40.SABC12absin C1240sin3 10 3.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1.应熟练掌握和运用内角和定理：ABC，A2B2C22 中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数.2.解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要化到只含角或只含边.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.