1、专题7.6 数学归纳法【考纲解读与核心素养】1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.2.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.3.高考预测：利用数学归纳法证明数列问题.4.备考重点:（1）数学归纳法原理；（2）数学归纳法的简单应用.【知识清单】知识点1数学归纳法1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立2.数
2、学归纳法的框图表示【典例剖析】高频考点一 利用数学归纳法证明等式【典例1】已知a，b，c，使等式N+都成立，（1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论.【答案】（1）；（2）见解析【解析】 (1):假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式122+232+n（n+1）2=（an2+bn+c）中，令n=1，得4=（a+b+c）令n=2，得22=（4a+2b+c）令n=3，得70=9a+3b+c由解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3都有122+232+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立(2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立（1）
3、当n=1时，由上述知，（*）成立（2）假设n=k（k1）时，（*）成立，即122+232+k（k+1）2=（3k2+11k+10），那么当n=k+1时，122+232+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=3（k+1）2+11（k+1）+10，由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立【总结提升】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少(2
4、)注意点：由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法【变式探究】（2018江苏高考模拟（理）在正整数集上定义函数，满足，且（1）求证：；（2）是否存在实数a，b，使，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）因为，整理得，由，代入得，所以（2）由，可得 以下用数学归纳法证明存在实数，使成立 当时，显然成立 当时，假设存在，使得成立，那么，当时，即当时，存在，使得成立由，可知，存在实数，使对任意正整数n恒成立【易错提醒】数学归纳
5、法的注意事项由n=k到n=k+1时,除等式两边变化的项外还要利用n=k时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.高频考点二 利用数学归纳法证明不等式【典例2】（2019浙江嘉兴一中高一期中）已知数列满足,（）求证：数列是等比数列；（）比较与的大小，并用数学归纳法证明；（）设，数列的前项和为，若对任意成立，求实数的取值范围【答案】（）见证明（）（）【解析】（）且,是以3为首项，为公比的等比数列，（）由（）知： ,下面用数学归纳法证明（1）当时,（2）假设当时,当时,即当时,结论成立，由（1）（2）得,（）因为 【典例3】（2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已
6、知数列满足.(1)求，并猜想的通项公式(不需证明)；(2)求证:.【答案】(1) ;猜想;(2)证明见解析【解析】(1)猜想(2)所以(2)方法二用数学归纳法证明:(1)当时，左边，右边，左边右边，不等式成立；(2)假设时，不等式成立，即，那么当时，只要证明成立，只要证明即证只要证明即证，即证只要证明，显然成立，所以时不等式也成立.综合(1)(2)可得对一切的不等式均成立.【例4】（2020届浙江省温州市11月适应测试）已知等差数列的首项，数列的前项和为，且，成等比数列（1）求通项公式；（2）求证：（）；【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）记为的公差，则对任意，即为等比数列，公比.由，成
7、等比数列，得，即，解得，即.所以，即；（2）由（1），即证：. 下面用数学归纳法证明上述不等式.当时，不等式显然成立；假设当时，不等式成立，即，则当时，.因，故.于是，即当时，不等式仍成立.综合，得.所以【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)关键：由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【变式探究】1.（2018浙江高一期末）已知数列满足，且使用数学归纳法证明：；
8、证明：；设数列的前n项和为，证明：【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）详见解析.【解析】当时，故当时命题成立；假设时命题成立，即，当时，注意在单调递增，所以，故，故当时命题成立因此对任意的，有；由，由知，故因为，所以因为，所以，故有，综上所述，2. （2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考）已知等比数列的公比，且，是的等差中项，数列的通项公式，.（）求数列的通项公式；（）证明：，.【答案】（）；（）详见解析.【解析】（）由是，的等差中项得，所以，解得，由，得，解得或，因为，所以.所以，.（）法1：由（）可得，.，.法2：由（）可得，.我们用数学归纳法证明.（1）当时，
9、不等式成立；（2）假设（）时不等式成立，即.那么，当时，即当时不等式也成立.根据（1）和（2），不等式，对任意成立.3.（2018浙江余姚中学高考模拟）设,对于，有.（1）证明：（2）令,证明 ：（I）当时，（II）当时，【答案】（1）见解析;（2）（I）见解析;（II）见解析.【解析】（1）若，则只需证 只需证成立只需要证成立，而该不等式在时恒成立故只需要验证时成立即可，而当时，均满足该不等式.综上所得不等式成立.（2）、（I）当时，用数学归纳法很明显可证当时，有; 下证：,只需要证,只需证只需证,只需证,只需证. 由（1）可知，我们只需要证,只需证,只需证.当时该不等式恒成立当时， ，故该
10、不等式恒成立综上所得，上述不等式成立（II）、当时，用数学归纳法很明显可证当时，有 下证：只需证: ,只需证：只需证：,只需证：只需证：,同理由（2）及数学归纳法，可得该不等式成立.综上所述，不等式成立高频考点三 归纳、猜想、证明【典例5】（2019浙江高二期中）已知正项数列满足，前项和满足，（）求的值；（）猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明【答案】（） ；（）见解析【解析】（）当时， 解得当时，当时， .（）猜想得 下面用数学归纳法证明：时，满足. 假设时，结论成立，即，则时 ， 将代入化简得 ， 故时 结论成立 . 综合可知，【典例6】（2019吉林高考模拟（理）已知数列满足：，点在直
11、线上.（1）求，的值，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.【答案】（）;.（）见解析.【解析】（）因为点在直线上所以，因为， 故，由上述结果，猜想：.（），当时，成立， ，假设当时，成立， 那么，当时，成立，由，可得.【总结提升】(1)“归纳猜想证明”的一般步骤计算(根据条件，计算若干项)归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)证明(用数学归纳法证明)(2)与“归纳猜想证明”相关的常用题型的处理策略与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归
12、纳法【变式探究】1.（2019浙江高二期末）数列的前项和为，且满足()求，的值；()猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论【答案】（），；（）见证明【解析】（）当时， 又，同理，；（）猜想 下面用数学归纳法证明这个结论.当时，结论成立.假设时结论成立，即，当时，即当时结论成立.由知对任意的正整数n都成立.2.给出下列不等式：，（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：，猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，所以，不等式的一般结论为：.（2）证明：当时显然成立；假设时结论成立，即：成立当时，即当时结论也成立.由可知对任意，结论都成立.
