1、1.3中国古代数学中的算法案例课时过关能力提升1下列方法中能求两个正整数的最大公约数的是() A.割圆术B.更相减损之术C.秦九韶算法D.以上均可答案B2用更相减损之术求得95与19的最大公约数为()A.5B.12C.19D.2解析(95,19)(76,19)(57,19)(38,19)(19,19),故95与19的最大公约数为19.答案C3284和1 024的最小公倍数是()A.1 024B.142C.72 704D.568解析由于1 024284=3(余172),284172=1(余112),172112=1(余60),11260=1(余52),6052=1(余8),528=6(余4),8
2、4=2(余0),则1 024与284的最大公约数是4,故它们的最小公倍数是1 0242844=72 704.答案C4用秦九韶算法求多项式f(x)=6x5+x4+4x3+5x2+3x+2在x=-3时的值的过程中,所做的加法次数为a,乘法次数为b,则a,b的值为()A.a=4,b=4B.a=5,b=5C.a=5,b=4D.a=6,b=5解析由于f(x)=6x5+x4+4x3+5x2+3x+2=(6x+1)x+4)x+5)x+3)x+2.因此,需做5次乘法,5次加法.答案B5用秦九韶算法求多项式f(x)=2+0.35x+1.8x2-3.66x3+6x4-5.2x5+x6在x=-1.3时,令v0=a6
3、;v1=v0x+a5;v6=v5x+a0时,v3的值为()A.-9.820 5B.14.25C.-22.445D.30.978 5解析由于f(x)=2+0.35x+1.8x2-3.66x3+6x4-5.2x5+x6=(x-5.2)x+6)x-3.66)x+1.8)x+0.35)x+2,于是v0=a6=1,v1=1(-1.3)-5.2=-6.5,v2=-6.5(-1.3)+6=14.45,v3=14.45(-1.3)-3.66=-22.445.答案C6用程序框图表示“割圆术”,将用到()A.顺序结构B.条件分支结构C.顺序结构和循环结构D.三种基本逻辑结构解析三种算法逻辑结构都将用到.答案D7用
4、更相减损之术求36和135的最大公约数,第一步应为.解析第一步为较大的数减去较小的数.答案135-36=998秦九韶算法中有n个一次式,若令v0=an,我们可以得到v0=an,vk=vk-1x+(k=1,2,n),我们可以利用语句来实现.答案an-k循环9已知一个5次多项式f(x)=x5+0.5x4-4x2+5x-9,用秦九韶算法求当x=x0时多项式的值,可把多项式写成:.解析本题中,x3项不存在,可把该项看作0x3.答案f(x)=(x+0.5)x)x-4)x+5)x-910求三个数168,54,264的最大公约数.解采用更相减损之术先求168与54的最大公约数.(168,54)(114,54
5、)(60,54)(6,54)(6,48)(6,42)(6,36)(6,30)(6,24)(6,18)(6,12)(6,6),故168和54的最大公约数为6.采用辗转相除法求6与264的最大公约数.因为264=446+0,所以6为264与6的最大公约数,故三个数的最大公约数是6.11用秦九韶算法求当x=2时,f(x)=14x6-3x4+2x3-x2+5x-1的值.解根据秦九韶算法,把多项式改写为如下形式:f(x)=14x+0x-3x+2x-1x+5x-1,按从内向外的顺序依次计算一次多项式当x=2时的值.v0=14;v1=142+0=12;v2=122-3=-2;v3=-22+2=-2;v4=-
6、22-1=-5;v5=-52+5=-5;v6=-52-1=-11.故当x=2时,f(x)=-11.12有甲、乙、丙三种溶液,分别为4 200 mL,3 220 mL和2 520 mL,现要将它们分别全部装入小瓶中,每个小瓶子装入液体的体积相同.问:要使三种溶液都刚好装满小瓶且所用瓶子最少,则小瓶的容积应为多少毫升?解由题意可知,就是求这三种溶液体积的最大公约数.先求4 200与3 220的最大公约数;4 200=3 2201+980,3 220=9803+280,980=2803+140,280=1402,4 200与3 220的最大公约数为140.再求140与2 520的最大公约数;2 520=14018,140与2 520的最大公约数为140.综上知,4 200,3 220和2 520的最大公约数为140.小瓶的容积应为140 mL.3
