1、函数及其表示1函数函数两个集合A，B设A，B是两个非空数集对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数函数记法函数yf (x)，xA2.函数的三要素(1)定义域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(2)值域与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(3)对应关系f：AB.3函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法4分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函
2、数称为分段函数概念方法微思考1分段函数f(x)的对应关系用两个式子表示，那么f(x)是两个函数吗？提示分段函数是一个函数2请你概括一下求函数定义域的类型提示(1)分式型；(2)根式型；(3)指数式型、对数式型；(4)三角函数型3请思考以下常见函数的值域：(1)ykxb(k0)的值域是R.(2)yax2bxc(a0)的值域：当a0时，值域为；当a0且a1)的值域是(0，)(5)ylogax(a0且a1)的值域是R.1（2020北京卷）函数的定义域是_【答案】【解析】由题意得，2（2019江苏卷）函数的定义域是 .【答案】-1,7 【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知
3、得,即，解得，故函数的定义域为-1,7 .3（2018江苏卷）函数的定义域为_【答案】2，+）【解析】要使函数有意义，则需，解得，即函数的定义域为.4（2017山东卷）设函数的定义域为，函数的定义域为,则A（1,2） BC（-2,1） D-2,1)【答案】D【解析】由得，由得，故.选D.1（2020山东高三其他）已知则（ ）A4BC6D）【答案】D【解析】【分析】利用分段函数解析式，结合对数运算，求得的值.【详解】因为，所以，而，故，故故选D【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.2（2020黑龙江绥化高二期末（理）函数的定义域为A2，0)(0，2B(1，0)(0，2C2，2D(1，2）【答
4、案】B【解析】x满足，即. 解得1x0或0x，选B3（2020黑龙江绥化高二期末（理）已知函数 ，且，则（ ）ABCD）【答案】A【解析】试题分析：或4（2020四川三台中学实验学校高二月考（文）若函数，则不等式的解集是（ ）ABCD）【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，分类讨论，根据对数函数的性质，即可求解不等式的解集，得到答案.【详解】由函数，可知，当时，令，解得；当时，令，即，解得，所以不等式的解集.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据函数的解析式，分类讨论和利用对数函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想的应用，以及推理与运算能力，属于基础题
5、.5（2020银川宁夏大学附属中学高二期末（文）设函数，则的值为( )ABCD）【答案】A【解析】【分析】【详解】因为时，所以；又时，所以故选A.本题考查分段函数的意义,函数值的运算.6（2020全国高一）函数的值域为（ ）.ABCD）【答案】A【解析】【分析】由，解得可得函数的定义域为：利用导数研究函数的单调性即可得出值域【详解】解：因为由，解得可得函数的定义域为：又令，则，即在上单调递增，令，解得，即在上单调递减，在上单调递增，所以为极小值点，又，函数的值域为故选A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（2020上海长宁高三三模）下列函数
6、中，值域是的函数是（ ）ABCD）【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的值域以及复合函数值域的求法确定选项中函数的值域，从而得出结论.【详解】选项A中，函数的值域为，故函数的值域为；选项B中，函数的值域为，故函数的值域为；选项C中，函数的值域为，故函数的值域为；选项D中，函数的值域为，故函数的值域为.故选D.【点睛】本题主要考查利用基本初等函数的值域求复合函数的值域，难度不大.8（2020湖南高三三模（文）函数的值域为（ ）ABCD）【答案】A【解析】【分析】利用换元法，设，则，结合指数函数的单调性及值域，可求出，从而可求本题函数的值域.【详解】解:设，则，因为为减函数，所以，即值域为.
7、故选:A.【点睛】本题考查了函数值域的求解.本题的难点是利用换元法，结合函数的性质求值域.一般地，求函数的值域时，常结合函数的图像、导数、函数的性质、基本不等式进行求解.9（2020北京东城高三一模）下列函数中，与函数的定义域和值域都相同的是（ ）A，BCD）【答案】C【解析】【分析】根据指数函数性质得到定义域和值域，依次判断各个选项即可得到结果.【详解】由指数函数性质知：的定义域为，值域为.对于，定义域为，与不同，错误；对于，值域为，与不同，错误；对于，定义域为，值域为，与相同，正确；对于，定义域为，与不同，错误.故选.【点睛】本题考查函数定义域和值域的求解问题，属于基础题.10（2019安
8、徽省定远中学高考模拟（理）已知函数（，且）在区间上的值域为，则（ ）ABC或D或4）【答案】C【解析】【分析】对a进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.【详解】分析知，.讨论：当时，所以，所以；当时，所以，所以.综上，或，故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.11（2019四川仁寿一中高三其他（文）函数，则 _）【答案】1【解析】【分析】根据自变量范围代入对应解析式，即得结果.【详解】根据题意，则；故答案为1【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.12（2020全国高三其他（理）函
9、数f（x），则f（f（）_）【答案】1【解析】【分析】先计算出，再计算得值，由此得出结果.【详解】依题意得.故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.13（2020四川省遂宁市第二中学校高三其他（理）已知函数且，则的值为_）【答案】3【解析】【分析】将代回原函数得，再求出即可【详解】因为，所以，所以故答案为：3【点睛】本题考查分段函数求值问题，属于简单题14（2020江苏昆山高三其他）已知函数，若，则实数的值是_.）【答案】4【解析】【分析】讨论的取值范围，分别代入即可求解.【详解】因为函数，当时，故无解；故须有：.故答案为：4.【点睛】本题主要考
10、查了已知函数的值求参数的值，属于基础题.15（2020浙江高三其他）已知奇函数则不等式的解集为_.）【答案】【解析】【分析】根据是奇函数确定a的值,利用的解析式,建立关于x的不等式组,从而解决问题.【详解】因为是奇函数且,所以,所以,所以不等式等价于或,所以,所以不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数及奇函数的性质,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学抽象、数学运算. 解含函数的不等式的解法：一是利用的解析式进行转化；二是首先根据函数的性质把不等式转化为的形式,然后转化为具体的不等式（组）,此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.16（2020浙江柯城衢州二中高三其他
11、）已知函数的值域为，则实数t的取值范围是_）【答案】【解析】【分析】先分类求值域A,再根据为A的子集求实数t的取值范围.【详解】令，当时，因为在上单调递增，因此值域为为的子集，所以；当时， 为的子集，所以；当时，当且仅当时取等号，因为为的子集，所以；综上，故答案为：【点睛】本题考查函数值域、利用基本不等式求值域，考查分类讨论思想方法以及基本求解能力，属中档题.17（2020上海高三专题练习）若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是_）【答案】【解析】试题分析：由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景
12、主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数的取值范围.18（2020贵州高三其他（理）函数的值域为_.）【答案】【解析】【分析】由根据的范围先求分母的范围，可得值域.【详解】，所以，则.故答案为：【点睛】本题考查求函数的值域，属于基础题.19（2020上海高三其他）对于函数,其中,若的定义域与值域相同,则非零实数a的值为_.）【答案】-4【解析】【分析】根据函数的定义域与值域相同，可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，比较二
13、区间的端点得出参数满足的方程，解方程求参数即可.【详解】函数，其中若，由于，即，对于正数b，的定义域为:，但的值域，故，不合要求.若，对于正数b，的定义域为.由于此时，故函数的值域.由题意，有，由于，所以.故答案为：4【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.20（2020咸阳市教育教学研究室高三一模（理）如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出的一个“同域函数”的解析式为_.）【答案】，（答案不唯一）【解析】【分析】由解析式可求得函数定义域；根据函数单调性确定函数的值域；根据“同域函数”的定义写出一个符合题意的函数即可.【详
14、解】由得： 的定义域为又为定义域内的增函数 值域为的一个“同域函数”为，故答案为：，（答案不唯一【点睛】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.21（2018浙江金华高三三模）函数的定义城是_，值域是_）【答案】 【解析】【分析】因为函数，根据二次根式下表达式非负，即可求得函数定义域，由，即可求得值域.【详解】函数，解得：，故函数的定义域为，故函数的值域为故答案为：，【点睛】本题主要考查函数的定义域与值域，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算，解题关键是掌握函数的定义域和值域的定义.22（2017浙江高三其他）设函数.（1）求函数的值域；（2）当实数，证明： .）【答案】（1）， ，（2）见解析【解析】试题分析：（1）首先确定函数的定义域， ，然后利用导数研究函数单调性与极值，就可以确定函数的值域，另外也可以根据求的值域，然后得到的值域；（2）设函数，然后转化为证明即可，通过对函数求导，研究函数在区间上的最大值，于是问题得证. 试题解析：（1）函数的定义域是，当时，解得，在上单调递增，在上单调递减， ，函数的值域为.（2）设， ， ，因为 ，.在上单调递减，又，.
