1、基础诊断考点突破课堂总结第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin()_.cos()_.tan()_.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2_.cos 2_.tan
2、 2_.sin cos cos sin cos cos sin sin tan tan 1tan tan 2sin cos cos2sin22cos2112sin22tan 1tan2基础诊断考点突破课堂总结3.有关公式的逆用、变形等(1)tan tan _.(2)cos2_，sin2_.tan()(1tan tan)1cos 221cos 224.函数 f()asin bcos(a，b 为常数)，可以化为 f()a2b2sin()其中tan ba 或 f()a2b2cos()其中tan ab.(3)1sin 2(sin cos)2，1sin 2(sin cos)2，sin cos 2sin
3、4.基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.()(2)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立.()(3)公式 tan()tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan)，且对任意角，都成立.()(4)存在实数，使 tan 22tan.()解析(3)变形可以，但不是对任意的，都成立，2k，kZ.答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破课堂总结2.(2016全国卷)若 tan 13，则 cos 2()A.45B.15C.15D.45解析 co
4、s 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan245.答案 D 基础诊断考点突破课堂总结3.(2015重庆卷)若 tan 13，tan()12，则 tan 等于()A.17B.16C.57D.56解析 tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 12131121317，故选 A.答案 A 基础诊断考点突破课堂总结4.(2017宝鸡调研)已知 sin cos 13，则 sin24()A.118B.1718C.89D.29解析 由 sin cos 13两边平方得 1sin 219，解得 sin 289，所以 sin24 1cos2221sin 221892 1
5、718，故选 B.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结5.(教材改编)sin 347cos 148sin 77cos 58_.解析 sin 347cos 148sin 77cos 58sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58(cos 77)(sin 58)sin 77cos 58sin 58cos 77cos 58sin 77sin(5877)sin 135 22.答案 22基础诊断考点突破课堂总结考点一 三角函数式的化简【例 1】(1)(2016合肥模拟)cos()cos sin()sin()A.sin(2)B.sin C.cos(2)D.cos(2)化简：（1sin c
6、os）cos2sin222cos(0)_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)cos()cos sin()sin cos()cos.(2)原式2cos222sin2cos2 cos2sin24cos22cos2cos22sin22cos2cos2cos cos2因为 0，所以 020，所以原式cos.答案(1)D(2)cos 基础诊断考点突破课堂总结规律方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.基
7、础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)22cos 82 1sin 8的化简结果是_.(2)化简：2cos42cos2122tan4 sin24_.解析(1)原式 4cos242（sin 4cos 4）22|cos 4|2|sin 4cos 4|，因为54432，所以 cos 40，且 sin 4cos 4，所以原式2cos 42(sin 4cos 4)2sin 4.基础诊断考点突破课堂总结(2)原式12（4cos44cos21）2sin4cos4cos24（2cos21）24sin4 cos4cos222sin22 cos222cos 212cos 2.答案(1)2sin 4(2)12cos
8、 2基础诊断考点突破课堂总结考点二 三角函数式的求值【例 2】(1)2sin 50sin 10(1 3tan 10)2sin280_.(2)已 知 cos 4 35，1712 74，则 sin 22sin21tan 的 值 为_.(3)已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，则 2 的值为_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)原式2sin 50sin 10cos 10 3sin 10cos 102sin 80(2sin 502sin 1012cos 10 32 sin 10cos 10)2cos 102 2sin 50cos 10sin 10cos(6010)2 2sin(5010)
9、2 2 32 6.(2)sin 22sin21tan 2sin cos 2sin21sin cos 2sin cos（cos sin）cos sin sin 21tan 1tan sin 2tan4.基础诊断考点突破课堂总结由1712 74 得53 40，又(0，)，基础诊断考点突破课堂总结00，022，tan(2)tan 2tan 1tan 2tan 3417134171.tan 170，2，20，234.答案(1)6(2)2875(3)34基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已
10、知条件及其变形代入所求式子，化简求值.(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较好.基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)4cos 50tan 40()A.2B.2 32C.3D.2 21(2)已知 sin3 sin 4 35，20，则 cos 的值为_.(3)已知 cos 17，cos()1314(02)，则 tan 2_，_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)原式4sin 40sin 40cos 40
11、4cos 40sin 40sin 40cos 402sin 80sin 40cos 402sin（12040）sin 40cos 40 3cos 40sin 40sin 40cos 40 3cos 40cos 40 3，故选 C.基础诊断考点突破课堂总结(2)由 sin3 sin 4 35，得32sin 32 cos 4 35，sin6 45.又20，所以366，于是 cos6 35.所以 cos cos6 6 3 3410.基础诊断考点突破课堂总结(3)cos 17，02，sin 4 37，tan 4 3，tan 2 2tan 1tan224 3148 8 347.02，02，sin()3
12、314，cos cos()cos cos()sin sin()1713144 37 3 314 12，3.答案(1)C(2)3 3410(3)8 347 3基础诊断考点突破课堂总结考点三 三角变换的简单应用【例 3】已知ABC 为锐角三角形，若向量 p(22sin A，cos Asin A)与向量 q(sin Acos A，1sin A)是共线向量.(1)求角 A；(2)求函数 y2sin2BcosC3B2的最大值.解(1)因为 p，q 共线，所以(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)，则 sin2A34.又 A 为锐角，所以 sin A 32，则
13、A3.基础诊断考点突破课堂总结(2)y2sin2 BcosC3B22sin2Bcos 3 B 3B22sin2Bcos3 2B 1cos 2B12cos 2B32 sin 2B 32 sin 2B12cos 2B1sin2B6 1.因为 B0，2，所以 2B6 6，56，所以当 2B62 时，函数 y 取得最大值，此时 B3，ymax2.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两种，一种是变换函数的名称，一种是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两
14、角和与差的三角函数公式、倍角公式等.基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(2017合肥模拟)已知函数 f(x)(2cos2x1)sin 2x12cos 4x.(1)求 f(x)的最小正周期及单调减区间；(2)若(0，)，且 f4 8 22，求 tan 3 的值.解(1)f(x)(2cos2x1)sin 2x12cos 4xcos 2xsin 2x12cos 4x12(sin 4xcos 4x)22 sin4x4，f(x)的最小正周期 T2.令 2k 2 4x4 2k 32，kZ，基础诊断考点突破课堂总结得k2 16xk2 516，kZ.f(x)的单调减区间为k2 16，k2 516，kZ.(2
15、)f4 8 22，即 sin 4 1.因为(0，)，4 4 34，所以 4 2，故 34.因此 tan 3 tan34 tan31tan34 tan31 31 3 2 3.基础诊断考点突破课堂总结思想方法 1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.基础诊断考点突破课堂总结易错防范1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0，)范围内，sin 22 所对应的角 不是唯一的.3.在三角求值时，往往要借助角的范围求值.