1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义【知识提炼】1.向量的数乘运算(1)定义：规定实数 与向量a的积是一个_，这种运算叫做向量的数乘，记作：_，它的长度和方向规定如下：|a|=|a|；当 0时，a的方向与a的方向_；当 0时，a的方向与a的方向_.向量a相同相反(2)运算律：设，为任意实数，则有：(a)=_；(+)a=_；(a+b)=_；特别地，有(-)a=_=_；(a-b)=_.2.向量共线的条件 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使_.()aa+aa+b-(a)(-a)a-bb=a3.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b及任意实数，1
2、，2，恒有(1a 2b)=_.1a2b【即时小测】1.思考下列问题.(1)实数 与向量a的乘积 a是向量，那么实数 与向量a的和+a与差-a是向量吗？提示：+a与-a不是向量，因为实数 与向量a可以作积为 a，但不可以做加减法，因为+a与-a是无意义的.(2)向量-4a的模是向量2a的模的2倍吗？提示：向量-4a的模是向量2a的模的2倍.因为|-4a|=4|a|，|2a|=2|a|，所以|-4a|=2|2a|.2.存在两个非零向量a，b满足b=-3a，则有()A.a与b方向相同 B.a与b方向相反 C.|a|=|3b|D.|a|=|b|【解析】选B.因为-31时，有|a|a|，这意味着表示向量
3、a的有向线段在原方向(1)或反方向(-1)上伸长到a的 倍；当0|1时，有|a|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0 1)或反方向(-1 0)上缩短到a的 倍.知识点2 向量共线的条件 观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：在向量共线的条件中，若向量a=0，则该定理是否成立？问题2：若向量a，b共线，则一定有a=b(R)吗？问题3：根据向量共线的条件，对于非零向量a，b，如何确定实数，使b=a？【总结提升】1.对向量共线的条件的说明(1)在向量共线的条件中之所以限定a0，是由于若a=b=0，虽然 仍然存在，可是 不唯一.(2)根据向量共线的条件，对于非零向量a，b，确定实数，使b=
4、a时，分两点：确定符号，a与b同向时，为正；a与b反向时，为负.确定 的绝对值，|b|.|a|2.向量共线条件的两个应用(1)对于向量a(a0)与b，如果有一个实数，使得b=a，那么由向量数乘的定义知，向量a与b是共线的.(2)向量a(a0)与b共线，若向量b的长度是a的长度的 倍，|b|=|a|，那么，当a与b同向时，有b=a；当a与b反向时，有b=-a；当b=0时，则=0，总之都可以表示成b=a(其中 唯一确定).【题型探究】类型一 向量的线性运算【典例】1.在ABCD中，=2a，=3b，则 等于()Aa+b Ba-bC2a+3b D2a-3b2.化简下列各式(1)2(3a-2b)+3(a
5、+5b)-5(4b-a).(2)(a+2b)+3a-(6a-12b).(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.ABADAC1413【解题探究】1.典例1中在ABCD中 与 ，的关系是什么？提示：2.典例2中的化简题目一般按照怎样的顺序进行？提示：简单的化简问题，把握运算顺序为：去括号、数乘向量、向量加减.ACABAD.ACABAD【解析】1.选C.=2a+3b.2.(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.(2)原式=a+b+a-a+b=a+b.(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.ACABAD141234121232【方法技巧】
6、向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.【拓展延伸】向量线性运算的技巧(1)不在图形中的简单化简问题依照数乘向量的运算律进行.(2)在具体图形中的数乘向量化简一般要利用向量的加法(减法)找到向量间的关系，再利用数乘向量的运算进行化简.(3)具体图形中的数乘向量化简
7、要结合图形的性质进行.【变式训练】1.若向量a=3i-4j，b=5i+4j，则(a-b)-3(a+b)+(2b-a)=_.【解析】(a-b)-3(a+b)+(2b-a)=a-b-3a-2b+2b-a=-a-b=-(3i-4j)-(5i+4j)=-11i+j-5i-4j=-16i+j.答案：-16i+j13231323131131134433233232.点D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC=a，CA=b，给出下列等式：=-a-b；=a+b；=-a+b；=0.其中正确的序号为_.ADBECFADBECF12121212【解析】如图，=-b+=-b-a，=a+b，=-b-a，
8、=b+(-b-a)=b-a，=b-a+a+b+b-a=0.答案：ADACCD1 CB2BEBCCE1212ABACCB1CFCAAB2121212ADBECF12121212类型二 向量共线的条件的应用【典例】1.(2015无锡高一检测)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若 ，则x+y=_.2.设两个向量a与b不共线，若 =a+b，=2a+8b，=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线.OPxOAyOBABBCCD【解题探究】1.典例1中A，B，P三点共线，得到 有怎样的关系？提示：因为A，B，P三点共线，所以存在实数 使得 2典例2中判断三点A，B，D共线的关键是什么？提示：欲证三
9、点A，B，D共线，关键是证存在实数，使 ，只要根据已知条件找出 即可 AB AP，APAB.ABBD【解析】1.由于A，B，P三点共线，所以向量 在同一条直线上，由向量共线的条件可知，必定存在实数使 即 ，所以 故x=1-，y=，即x+y=1.答案：1 AB AP，APAB，OPOA(OBOA)OP(1)OAOB，2.因为 =a+b，=2a+8b，=3(a-b)，所以 =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 .所以 共线，又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线.ABBCCDBDBCCDABAB BD，【延伸探究】若本例2中 =a+b，其他条件不变，且A，B，
10、D共线，试求 的值.【解析】因为 =a+b+3(a-b)=4a+(-3)b，因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得 所以4a+(-3)b=(a+b)，又因为a，b是不共线的两个向量，所以 所以=7.BCBDBCCDBDAB，43 ，【方法技巧】用向量共线的条件证明两直线平行或重合的思路(1)若b=a(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行.(2)若b=a(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合.例如，若 ，则 与 共线，又 与 有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法.ABAC ABACABAC【拓展延伸】用向量共线的条件求参数的方法(1)
11、三点A，B，C共线问题：利用 构造方程求参数.(2)已知向量ma+nb与ka+pb(a与b不共线)共线求参数值的步骤 设：ma+nb=(ka+pb).整：整理得(m-k)a=(p-n)b，故 解：解方程组得参数值.ABAC mknp.，【变式训练】1.(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量 a+b与a+2b平行，则实数=_【解题指南】由向量 a+b与a+2b平行，得到 a+b=k(a+2b)，利用向量相等求解.【解析】因为向量a+b与a+2b平行，所以a+b=k(a+2b)，则 所以=答案：k12k ，12122.(2015蚌埠高一检测)设a，b是两个不共线向量，已知 =2a+mb，=a+
12、3b，若A，B，C三点共线，求m的值.【解题指南】由于A，B，C三点共线，则两向量 共线，根据向量共线的条件可得，一定存在一个实数 使得 ，利用向量相等求m的值.【解析】因为A，B，C三点共线，所以 共线，即 ，所以2a+mb=(a+3b)，故=2，m=3，解得m=6.ABCBAB CB，ABCB AB CB，ABCB【补偿训练】对于ABC内部的一点O，存在实数 使得=()成立，则OBC与ABC的面积比为()A.12 B.13 C.23 D.与 有关 OAOBOAOC【解析】选A.如图所示，设D，E分别是AB，AC的中点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAGB，以OA，OC为邻边作平行四边形O
13、AFC，则 因为 =()，所以 所以点O在直线DE上.又因为D，E分别是AB，AC的中点，所以OBC与ABC的面积比是12.OAOBOG2OD.OAOCOF2OE，OAOBOAOCODOE，【延伸探究】若把本题中的条件改为 ，则AOB与AOC的面积之比为_.【解析】如图，由平行四边形法则，知 其中E为AC的中点.所以 所以 OAOC3OB OAOCOD，OAOC2OE3OB，22OBOE|OB|OE|.33，设点A到BD的距离为h，则SAOB=|h，SAOC=2SAOE=|h，所以 答案：13 12OBOEAOBAOC1|OB|hS1|OB|1212.S2233|OE|h|OE|类型三 用已知
14、向量表示未知向量【典例】1.设D，E，F分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且 则 与 ()A反向平行 B同向平行 C互相垂直 D既不平行也不垂直 DC2BD CE2EA AF2FB，ADBECFBC2.如图所示，四边形OADB是以向量 =a，=b为邻边的平行四边形又 试用a，b表示 OAOB11BMBC CNCD33，OM ON MN.，【解题探究】1.典例1中，判断 与 之间的关系的解题思路是什么？提示：看 能否用 来表示.2.典例2中利用已知条件可以找到哪些与所求向量和已知向量有关的等量关系？提示：ADBECFBCADBECFBC1BM(OAOB)OMOBBM.6，【解析】1.选A
15、.因为 所以 与 平行且方向相反 ADBECF(ABBD)(BAAE)(CBBF)1111111BCAC(CBBA)BABC ACCBBC3333333，ADBECFBC2.所以 =b+a-b=a+b.因为 所以=()=(a+b)，=(a+b)-a-b=a-b.1111BMBCBA(OAOB)()3666，abOMOBBM1616165611CNCDOD36，112ONOCCNODODOD263OAOB232323MNONOM16561612【延伸探究】1.(改变问法)在本例2条件中，试用a，b表示【解析】方法一：又 =(a+b)，=a+b，所以 =a+b-a-b=-a+b.方法二：因为 所以
16、 =(b-a)=-a+b.CM.CMOMOC.OCOM121656CM1656121213131BMBC3，21CMCBAB331313132.(变换条件)若本例2中 =a，=b，其他条件不变，试用a，b表示【解析】ODABMN.MNONOM1OCCD(CMCO)312OCCDCBCO331111ODAB.6363ab【方法技巧】用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.【补偿训练】1.如图，设ABC的重心为G，O是ABC所在平面内的一点，且 =a，=b
17、，=c，则 =_.OAOBOCOG【解题指南】由OG是OGA的一条边，所以 因此，只要能求得向量 即可.又因为G为ABC的重心，所以 ，只要能求得向量 即可.【解析】易知，所以 又因为 所以 故 答案：OGOAGA.2GAMA311OM(OBOC)()22bc1MAOAOM()2，abc2|GA|MA|3，221GAMA()332，abc21111OGOAGA().32333aabcabc111333abcGAMA2.如图所示，D，E分别是ABC中边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知 =a，=b，试用a，b分别表示 BCBDDE CE MN.，【解析】由三角形中位线定理，知D
18、E BC，故 即 =-a+b+a=-a+b.=-a-b+a=a-b.121DEBC2，1DE.2aCECBBDDE121211MNMDDBBNEDDBBC22141214规范解答 向量共线的条件的应用【典例】(12分)(2015合肥高一检测)如图所 示，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，且(1)用a，b表示向量(2)求证：B，E，F三点共线.2AEAD ABAC.3，abAD AE AF BE，【审题指导】(1)要用a，b表示向量 ，只需根据题目中的条件，把所表示的向量放在三角形中，用三角形法则联系起来求解.(2)要证B，E，F三点共线，只需证明 AD AE AF BE，BEBF.【规范解答】(1)延长AD到G，使 ，连接BG，CG，因为D是BC和AG的中点，1ADAG2【题后悟道】1.熟练应用加法和减法法则 用已知向量表示未知向量可借助三角形法则或平行四边形法则.将未知向量与已知向量纳入同一个三角形中，或将已知向量和未知向量纳入到同一个平行四边形中，再根据向量的加、减法和数乘运算建立已知向量与未知向量间的关系，实现已知向量与未知向量间的沟通.2.把握向量共线的条件的应用 利用向量共线判断三点共线是判断三点共线常用的方法.在本题中可以先作图，通过观察图形得到三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.