1、6简单几何体的再认识6.1柱、锥、台的侧面展开与面积课后篇巩固提升基础达标练1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是()A.3+34a2B.34a2C.3+32a2D.6+34a2解析因为正三棱锥的侧面为等腰直角三角形,所以斜高h=a2,所以S侧面积=aa2123=34a2,S底面积=a32a12=34a2,所以S表面积=34a2+34a2=3+34a2.答案A2.若圆台的高为3,一个底面半径是另一个底面半径的2倍,其轴截面的一个底角为45,则这个圆台的侧面积是()A.27B.272C.92D.362解析设圆台上底半径为r1,下底半径为r2,母线长为l,如图所示
2、,2r2=2r1+6=4r1,所以r1=3,r2=6.S圆台侧=(r1+r2)l=(6+3)32=272.答案B3.(多选)(2019山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为()A.2B.(1+2)C.22D.2+2解析若绕一条直角边旋转一周时,则圆锥的底面半径为1,高为1,所以母线长l=2,这时表面积为1l+12=(1+2);若绕斜边旋转一周时旋转体有两个倒立圆锥对底组合而成,且由题意底面半径为22,一个圆锥的母线长为1,所以表面积S=2221=2,综上所述该几何体的表面积为2.答案AB4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
3、三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A.11B.12C.13D.12解析设正方体棱长为a,由题意知,三棱锥的各面都是正三角形,所以正三角形的边长为2a,即表面积为4SAB1D1=412(2a)232=23a2.正方体的表面积为6a2,所以三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为23a26a2=13.答案C5.已知正四棱台两底面边长分别为4 cm,8 cm,侧棱长为8 cm,则它的侧面积为 cm2.解析作出正四棱台的一个侧面如图,设E,F分别为AD,BC的中点,过D作DGBC于点G.由题知AD=4cm,BC=8cm,CD=8cm,得DE=2cm,FC=4cm,解得GC
4、=2cm,在RtDGC中,DG=82-22=215(cm),即斜高为215cm,所以所求侧面积为12(16+32)215=4815(cm2).答案48156.(2019浙江宁波余姚段考)一个圆台的母线长为12 cm,两底面积分别为4 cm2和25 cm2,则圆台的高为;截得此圆台的圆锥的母线长为.解析圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,如图所示;由已知可得上底半径O1A=2cm,下底半径OB=5cm;又腰长为母线长是AB=12cm,所以高AM=122-(5-2)2=315cm;设截得此圆台的圆锥的母线长为l,则由SAO1SBO,可得l-12l=25,解得l=20(cm).答案315 cm20 cm
5、能力提升练1.(2019黑龙江大庆统考)过某一圆锥的高的中点和一个三等分点(该三等分点距圆锥顶点比距圆锥底面圆心更近),分别作平行于该圆锥底面的平面,圆锥被分割成三个部分,则这三个部分的侧面积之比为()A.213B.236C.4527D.4936解析设从顶点往下这三部分的侧面积分别为S1,S2,S3,圆锥底面半径为r,母线长为l,由题意可得,S1=r3l3=rl9,S2=r2+r3l6=5rl36,S3=r+r2l2=3rl4,所以三个部分的侧面积之比为S1S2S3=1953634=4527.答案C2.正四棱柱的一条对角线长为9,表面积为144,适合这些条件的正四棱柱有个.解析设底面边长为a,
6、高为h,由题意得2a2+h2=81,2a2+4ah=144.这个方程组有两个解,所以适合条件的正四棱柱有2个.答案23.(2019浙江杭州期末)已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2,棱AB,AD,AA的中点分别为E,F,G,首先截去三棱锥A-EFG,类似的,再截去另外7个三棱锥,则余下的几何体的表面积为.解析如图,S正方形GEMH=22=2,SEFG=1222sin60=32,而余下的几何体的表面积等于6个正方形GEMN的面积加上8个三角形EFG的面积之和,故所求几何体的表面积为26+328=12+43.答案12+434.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,D,E是CC1,
7、BC的中点,AE=DE.求:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长;(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.解(1)由题意可得,BE=EC=1,DE=AE=2sin60=3,根据正三棱柱的定义可得CC1平面ABC.又BC平面ABC,所以CC1BC,故在RtECD中,CD=ED2-EC2=(3)2-12=2.所以正三棱柱的侧棱长为22.(2)S底面积=2SABC=22312=23,S侧面积=3S四边形BB1C1C=3222=122.所以S表面积=S侧面积+S底面积=122+23.素养培优练一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1分别在三条棱上,A0,B0,C0分别在底面ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?解设三棱锥的底面中心为O,连接PO,则PO为三棱锥的高,设A1,B1,C1所在的底面与PO交于O1点,则A1B1AB=PO1PO,令A1B1=x,而PO=h,则PO1=hax,于是OO1=h-PO1=h-hax=h1-xa.所以所求三棱柱的侧面积为S=3xh1-xa=3ha(a-x)x=3haa24-x-a22.当x=a2时,S有最大值为34ah,此时O1为PO的中点.
