1、高考资源网（） 您身边的高考专家2016艺体生文化课-百日突围系列专题三 函数及函数的基本性质函数的定义域【背一背基础知识】函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域一般用集合或区间表示.求定义域的基本原则有以下几条：1.分式：分母不能为零；2.根式：偶次根式中被开方数非负，对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；3.幂指数：及中底数；4.对数函数：对数函数中真数大于零，底数为正数且不等于；5.三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为.【讲一讲基本技能】1.求函数定义域的主要依据是：分式的分母不能为零；偶次方根的被开方式其值非
2、负；对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域，则复合函数的定义域由不等式得到.3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决典型例题例1函数的定义域为（
3、 ）A. B. C. D. 分析：本题属于简单函数的定义域求解问题，求解时注意对二次根式中的被开方数列约束条件，并注意分式中对分母的限制条件，以及对数的真数大于零，列出相应不等式求解即可.例2已知函数的定义域为，则函数的定义域为 分析：本题属于复合函数的定义域问题，在求解该问题时，这属于等量代换，注意还原的与被还原的取值范围的一致性.【练一练趁热打铁】1. 函数的定义域为（ ）A B C D2. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）A B C D分段函数【背一背基础知识】分段函数：对于定义域不同的部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.1.分段函数的定义域是将各段定义域取并集得到
4、，其值域也是将各段值域取并集得到；2.分段函数的图象是将各段函数合并组合而成，需注意的是画分段函数时，包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点.【讲一讲基本技能】一般分段函数的基本题型有以下三种：（1）已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，求形如的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；（2）已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；（3）分段函数型不等式，此种题型只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.（4）因为分段
5、函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值（5）“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则典型例题例1已知函数 ，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）例2已知函数，则（ ）A. B. C. D. 分析：本题属于复合型分段函数的求值问题，求值时注意由内到外依次进行，但需要根据自变量的值选择合适的解析式代值求解.例3已知函数，若，则 .分析：本题是分段函数的求值问题，考查由函数值求自变量的值，对于此类问题的求解，只需对自变量属于那段定义域进行分类讨论，在相应的条件下将所得答案是否在对应的定义域内
6、进行取舍，若在，则保留；否则相应的答案就要舍去.例4设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D.分析：本题考查分段函数不等式的求解，对于此类问题的处理，只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.【练一练趁热打铁】1. 设满足，则（ ）A B C1 D2. 已知函数，若，则实数等于（ ）A B C2 D43.设，若，则 .4.已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D.函数的单调性【背一背基础知识】1.单调区间：若函数在区间上是增函数（或减函数），则称函数在区间为单调递增（或单调递减），区间叫做的单调递增区间（或单调递减区间）；2.函数的单调性：设
7、函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间上任意两个自变量、，当时，有（或），那么就说函数在区间上是增函数（或减函数）；或对于区间上任意两个自变量、，当时，有或时，称函数在区间上是增函数；或对于区间上任意两个自变量、，当时，有或时，称函数在区间上是减函数.3.基本初等函数的单调性：函数图象参数范围单调区间或单调性一次函数单调递增区间单调递减区间二次函数单调递减区间为；单调递增区间为.单调递增区间为；单调递减区间为.反比例函数单调递减区间为和单调递增区间为和指数函数（且）单调递减区间为单调递增区间为对数函数（且）单调递减区间为单调递增区间为幂函数在上递减没有单调性在上递增正弦函数单调递增区间单调
8、递减区间余弦函数单调递减区间；单调递增区间正切函数单调递增区间【讲一讲基本技能】必备技能：1.在判断基本初等函数的单调性时，在熟悉基本初等函数的图象的基础上进行判断，尤其要注意，函数在区间上的单调性和函数在区间的子区间上的单调性相同；在涉及若干个函数的和函数时，判断此函数的单调性一般利用性质去判断，即增函数增函数增函数，增函数减函数增函数，减函数减函数减函数，减函数增函数减函数；分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求；一般情况下的单调性可利用导数求进行判断，即由确定的解集为函数的单调递减区间，由确定的解集为函数的单调递增
9、区间；证明函数的单调性可以利用定义法与导数法.同时需要注意函数的同类单调区间（即同为增区间或减区间）不能取并集，一般利用逗号隔开或用“和”字联结.2.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.3.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连
10、接.典型例题例1设则的大小关系是( )（A） （B） （C） （D）例2已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.分析：本题属于分段函数的单调性问题，对于分段函数在定义域上的增函数问题，则需要考虑在区间和区间上都是增函数，还需要考虑在处两边函数值的大小关系，从而求出参数的取值范围.【练一练趁热打铁】1. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.2.，三个数中最大数的是 函数的奇偶性【背一背基础知识】1.函数的奇偶性：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有（或），那么函数就叫做偶函数（或奇函数）；2.基本初等函数的奇偶性：函数参数取值奇偶性一次
11、函数奇函数非奇非偶函数二次函数偶函数非奇非偶函数反比例函数奇函数指数函数（且）非奇非偶函数对数函数（且）非奇非偶函数幂函数为奇数奇函数为偶数偶函数正弦函数奇函数余弦函数偶函数正切函数奇函数3.定义法判断奇偶性的步骤：（1）判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）计算与是否具备等量关系；（3）下结论；4.利用性质法来判断奇偶性：（1）奇函数奇函数奇函数；（2）偶函数偶函数偶函数；（3）奇函数奇函数偶函数；（4）偶函数偶函数偶函数；（5）奇函数偶函数奇函数.【讲一讲基本技能】1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 (奇函数)或 (偶函数)是否
12、成立3通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于轴对称，则函数是偶函数4抽象函数奇偶性的判断方法：(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现)；(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；(3)找出与的关系，得出结论5.对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，充分利用结论：若奇函数在处有定义，则.典型例题例1已知函数f(x)是奇函数，求ab的值分析：本题是函数的奇偶性的判断，对于本题的求解，可以利用定义法来进行判断，按照定义法判断函数奇偶性三步来进行证明.例2给出下列函数，其中是奇函数的是（ ）A. B. C. D. 分析：本题是考查函数的奇
13、偶性的判断问题，对于简单函数的奇偶性判断，可以利用基本初等函数的奇偶性或定义法来进行判断.例3 设为定义在上的函数.当时，（为常数），则（ ） A. B. C. D.分析：本题是考查分段函数的奇偶性与求值问题，题中已知函数在区间上的解析式，但解析式中含有未知的参数，所以可以利用奇函数的结论来求出的值，从而确定函数区间上的解析式，先求出的值，然后结合函数的奇偶性求出的值.例4.已知函数，若，则（ ） A. B. C. D.分析：本题是利用函数奇偶性求值问题，首先需要注意到与中两个自变量之间相反数之间的关系，联想到利用函数的奇偶性来求解，在解题时注意到代数式的奇偶性，通过将与之间相反数之间的关系，
14、代值利用加法进行消去，从而求出的值.【练一练趁热打铁】1. 下列函数中，在上单调递减，并且是偶函数的是（ ） A. B. C. D.2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ）A. B. C. D.3 已知函数是定义在区间上的奇函数，则f(m)_4.偶函数在区间上单调递减，则有（ ）A. B. C. D.函数的周期性【背一背基础知识】1周期函数：对于函数，如果存在一个非零实数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期.2最小正周期：如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么最小的正数就叫做的最小正周期.3关于函数周期性常用的结论(1)若满
15、足，则，所以是函数的一个周期()；(2)若满足，则 ，所以是函数的一个周期()；(3)若函数满足，同理可得是函数的一个周期(). （4）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么（5）函数图像关于轴对称（6）函数图像关于中心对称（7）函数图像关于轴对称，关于中心对称【讲一讲基本技能】1求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如yAsin(x)，用公式T计算递推法：若f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以周期T2a.换元法：若f(xa)f(xa)，令xat，xta，则f(t)f(t2a)，所以周期T2a2判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)
16、便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题3根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想2.典型例题例1已知f（x）是R上的奇函数，对xR都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=2，则f（2013）等于（）A2 B2 C1 D2013分析：本题是借助函数的周期性与奇偶性求值问题，对于此种问题的处理，首先是利用特值确定，从而利用奇偶性
17、得，利用函数的周期性即可求解.例2已知定义在上的奇函数满足，则的值为_.分析：本题是利用函数的周期性与奇偶性求对抽象函数求值，对于此种问题的处理，首先应该从条件得出函数的周期，然后利用周期性将所求的函数值对应的自变量的绝对值化小，并结合已知条件求解.【练一练趁热打铁】1. 奇函数满足对任意都有成立，且，则的值为（ ）A 2 B 4 C 6 D 82.已知函数满足且，则 .（一） 选择题（12*5=60分）1. 函数的定义域是（ ）(A) (B) (C) (D) 2. 下列函数中，满足对任意、，当时都有的是（ ） A. B. C. D.3. 下列函数中，在上是单调递增的偶函数的是（ ） A B
18、C D 4. 已知是奇函数、是偶函数，且，则=A4 B3 C2 D15. 奇函数的定义域为R，若为偶函数，且=1，则+=（ ） A-2 B-1 C0 D16. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是( )(A)ysin(2x) (B)ycos(2x)(C)ysin2xcos2x (D)ysinxcosx7. 已知函数，构造函数的定义如下：当时，当时，则( ) A有最小值0，无最大值 B有最小值1，无最大值C有最大值1，无最小值 D无最大值，也无最小值8.已知函数是在闭区间上单调递增的偶函数，设，则（ ） A. B. C. D.9. 设，则（ ）A B C D10. 已知函数 若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 11. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A） （B） （C） （D）12. 已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）（二） 填空题（4*5=20分）13. 若函数f(x)=为偶函数，则a= 14. 已知偶函数对任意均满足，且当时，则的值是 .15. 已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围 是 .16. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 高考资源网版权所有，侵权必究！（上海，甘肃，内蒙，新疆，陕西，山东，湖北，河北）八地区试卷投稿QQ 2355394501