1、2.2.2 向量减法运算及其几何意义 1.相反向量(1)定义：与a长度_，方向_的向量，记作_，并且规定，零向量的相反向量是_.(2)结论：-(-a)=_，a+(-a)=(-a)+a=_.若a与b互为相反向量，则a=_，b=_，且a+b=_.相等相反-a零向量a0-b-a02.向量的减法(1)定义：a-b=_.减去一个向量就等于加上这个向量的_.(2)几何意义：a-b表示为从向量b的终点指向_的向量.a+(-b)相反向量向量a的终点1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)()(2)a-b的相反向量是b-a.()(3)|a-b|a+b|.()ACOAOC.【解析】(1)错误.根据向量减法的
2、几何意义可知(2)正确.因为(a-b)+(b-a)=0.(3)错误.|a-b|与|a+b|的大小不确定.答案：(1)(2)(3)ACOCOA.2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)在平行四边形ABCD中，=.(2)向量a，b共线反向时，向量a-b与向量a的方向.(3)化简：=.ABCDPBOPOB【解析】2.(1)由于向量 和向量 互为相反向量，故 =0.答案：0(2)因为向量a，b共线反向，则向量a与(-b)同向，故a-b与向量a的方向相同.答案：相同(3)=0.答案：0ABCDABCDPBOPOBPBOPOBPBBP【要点探究】知识点 相反向量的含义及向量减法的定义1.相反向量的意义
3、(1)在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法.(2)为向量的“移项”提供依据.利用(-a)+a=0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”.例如由abcd可得acdb.2对相反向量的三点说明(1)a与-a互为相反向量.(2)相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相反向量是方向相反的向量，反之不成立(3)相反向量与相反数是两个不同的概念，相反数是两个数符号相反，绝对值相等；相反向量是方向相反，模长相等的两个向量.3.向量减法的两种定义方法(1)将向量减法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果b+x=a,则x叫做a与b的差，记作a-b.(2)在相反向量的基础上，通过向量
4、加法定义向量减法，即定义a-b=a+(-b).【微思考】(1)若a-c=b-d，则a+d=c+b成立吗？提示：成立，移项法则对向量等式适用.(2)若|a|=|b|，则a=b或a=b吗？提示：若|a|=|b|，但两向量不一定共线，故不一定有a=b且a=b成立.(3)作两个向量的差的前提是什么？提示：将两个向量移到共同的起点.【知识拓展】非零向量的差的三角不等式(1)当a,b不共线时，根据三角形边长的不等关系知|a|-|b|a-b|b|，则a-b与a,b同向，且|a-b|=|a|-|b|；若|a|b|，则a-b与a,b反向，且|a-b|=|b|-|a|.(3)当a,b共线且反向时，a-b与a同向，
5、与b反向,且|a-b|=|a|+|b|.综上所述，对于任意两个非零向量，总有下列向量不等式成立：|a|-|b|a-b|a|+|b|.【即时练】1.在平行四边形ABCD中,向量的相反向量为_.2.计算【解析】1.在平行四边形ABCD中,向量 与向量 互 为相反向量.答案：2.因为 故 ABABCBCDED.BA CD，ABBA CD，CBBCBC,EDDEDE,ABCBCDEDABBCCDDEAE.【题型示范】类型一 向量的减法及其几何意义【典例1】(1)可以写成：其中正确的是()A.B.C.D.(2)化简：ACAOOC；AO OC；OA OC；OC OA，ABOA OB；ABBDCADC；OB
6、 OA OC CO.(3)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c.【解题探究】1.两起点相同的向量相减，差向量方向如何确定？2.题(2)中的向量加减混合运算时，为了应用向量加法和减法的几何意义，应该用向量加法的交换律和结合律变形出哪些形式？3.题(3)中两向量差与和的作图依据是什么？【探究提示】1.两起点相同的向量相减，差向量指向被减向量.2.变形出以下两种形式：向量相加首尾相接的形式；向量相减共起点的形式.3.两向量差的作图依据是向量减法的几何意义及三角形法则；两向量和的作图依据是三角形法则和平行四边形法则.【自主解答】(1)选D.因为 所以选D.(2)=0；=0；AOOCAC
7、OC OAAC，ABOA OBABOA OBABBA ABBDCADCABBDDCCAADDA OB OA OC COOB OAOCCOAB.(3)方法一：如图(1)所示，在平面内任取一点O，作 =a,=b，则 =a+b，再作 =c,则 =a+b-c.方法二：如图(2)所示，在平面内任取一点O，作 =a,=b，则 =a+b,再作 =c，连接OC，则 =a+b-c.OAOBABOCCBOAABOBCBOC【方法技巧】1.向量加法与减法的几何意义的联系(1)如图所示，平行四边形ABCD中，若 =a，=b，则 =a+b，=a-b.(2)类比|a|-|b|a+b|a|+|b|.可知|a|-|b|a-b
8、|a|+|b|.ABADACDB2.向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和.(2)起点相同且为差.做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.【变式训练】(2014淄博高一检测)化简=()【解析】选C.ABBDACCDA.AD B.DA C.D.BC0 ABBDACCDABACBDDCCBBC.0【补偿训练】化简所得结果是()【解析】选C.因为 PM PNMNA.MP B.NP C.D.MN0PM PNMNNMMNNMNM.0类型二 用已知向量表示其他向量【典例2】(1)如图，O为平行四边形ABCD内一点，=a，=b，=c，则_.OAOBOCOD(2)设O是ABC内一点，且=a
9、，=b，=c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a,b,c表示OAOBOCDC,OH,BH.【解题探究】1.题(1)中与向量 有关联的是哪个向量？根据平行四边形的性质，这个向量又与哪个向量相等？2.题(2)中的OD和OH与作出的平行四边形有何关系？向量 和 如何用已知向量表示？OA OB，ODOH【探究提示】1.向量BA与向量 关系密切，并且 2.OD和OH分别是已作出的平行四边形的对角线，根据向量加法 和减法的几何意义，可得 OA OB，BA CD.ODOAOB,OHOCOD.【自主解答】(1)因为 所以 所以 ab
10、+c.答案：ab+c(2)由题意可知四边形OADB为平行四边形，所以 =a+b，所以 =c-(a+b).又四边形ODHC为平行四边形，所以 =c+a+b,所以 =a+b+c-b=a+c.BA CD BA OA OBCD OD OC，OD OC OA OBOD OA OB OC,，ODODOAOBDCOCODOHOCODBHOHOB【延伸探究】若题(2)的条件不变，如何用向量a,b,c表示出向量【解析】由以上可得 =c+a+b,则=c+a+b-a=b+c.AH？OHOCODAHOHOA【方法技巧】用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成 三角形三
11、向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化 渠道.(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合 律、交换律来分析解决问题.(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则.例如四边形ABCD中，ABBCCDDA.0【变式训练】如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量【解题指南】解答本题要注意 及向量加法减法几何 意义的应用.ABACAEBD BC BE CDCE.，及CDAE，【解析】因为四边形ACDE是平行四边形，所以 =c，=ba，=ca，=cb,所以 =bac.CDAEBCAC ABBEAE ABCEAE
12、ACBDBCCD【补偿训练】下列四式中不能化简为的是()PQA.ABPABQ B.ABPC(BA QC)C.QC QPCQ D.PAAB BQ【解析】选D.选项A中，=选项B中，选项C中，选项D中，AB(PABQ)ABBQPAAQ APPQ；ABPCBA QC(ABBA)PC QCPC QCPCCQPQ；QC QPCQQCCQ QPQPPQ；PAAB BQPB BQPQ.【易错误区】向量的加减运算在平面几何应用中的误区【典例】如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设=a，=b，=c，则b+c-a等于()A.B.C.D.+bOAOBODOAABDAOC【解析】选A.方法一：因
13、为四边形ABCD是平行四边形，所以 所以b+c=所以b+c-a=方法二：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 所以c-a=因为 =b，所以 =-b,所以 =-b.所以c-a=-b，即b+c-a=DACB,DAOCCBOCOB，OBABOBBAOA.ABDC，OCABOCDCOCCD,ODDAADDA ODOAADOAOAOA.【常见误区】错解 错因剖析 选B 只进行了方法一中阴影处b+c的运算，而忽视了-a，造成错选.选C或 选D 只进行了方法二中阴影处c-a的运算，而忽视了b造成错选.【防范措施】1.线段平行的应用 解答以几何图形为背景的向量加减法运算问题，要注意平面几 何知识的应用，如本例方法一中处由ABCD得 2.向量运算法则的灵活应用 在理解几何意义的同时，要注意向量加法与减法的转换关系，如本例方法一中的 DACB.OBABOBBA.【类题试解】如图，在任意四边形ABCD中，E,F分别为AD,BC的中点，则=()EFEFA.AB B.ABDC C.DC D.ADBC【解析】选B.因为 又 与 互为相反向量，与 互为相反向量，所以=0，=0.所以=EFEAABBF,EFEDDCCF,EAEDBFCFEAEDBFCFEFEFEDDCCFEAABBFEDEADCABBFCFABDC.
