2007湖南省张家界市一中4月模拟考试理科数学试卷.doc

1、湖南省张家界市一中2007届高三4月模拟考试理科数学试卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟第卷（选择题，满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上）1 B ABCD2下列命题中，正确的个数是 B 若|0，则； 在ABC中，若，则O为ABC的重心；若，是共线向量，则|，反之也成立；若，是非零向量，则的充要条件是存在非零向量，使0A1B2C3D43若命题P：xAB，则P B AxA且xBBxA或xBCxA且xBDxAB4已知函数f(x)log2|ax1| (a0

2、)满足关系式f(2x)f(2x)，则a的值为 C A1B CD15已知f(x)2x3,(xR)，若|f(x)1|a的必要条件是|x1|b，(a、b0)则a、b之间的关系是 C AaBbCbDa6已知= A A0B2C4D87如图，在AOB的两边上分别为A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4、B5共9个点，连结线段AiBi（1i4,1j5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有 A 对“和睦线”（ ）A60B62C72D1248函数ysinxcosx在x,时的值域是 C A0, B,0C0, D0,19在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角

3、形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是 C ABCD10已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|=2c，点A在椭圆上，=0，则椭圆的离心率e= C ABCD第卷（非选择题，共计100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确的答案填在指定位置上）11若数列x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值范围是 (,0)4, 12将函数yx2的图象F按向量(3,2)平移到F，则F的函数解析式为 yx26x713设随机变量服从正态分布N(1,22)，若P(c)43P(c)，则常数c= 5 (参考数据：(2)0.9773) 14在实数的

4、原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当ab时，aba；当ab时，abb2；则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于 6 (“”与“”分别为乘法与减法)15设若存在，则常数 _2 .三解答题（本大题共6个小题，共75分）16(本小题满分12分)已知向量(cos4x,1)，(1,cin4xsin2x)，xR，f(x)(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若x0, ，求f(x)的最值及相应的x值解：f(x)cos4xsin4xsin2xcos2xsin2x2cos(2x)(1)函数f(x)的最小正周期T(2)x0, 2x,当2x即x0时，f(x)mox1当2x即x时，f(x

5、)min217 (本小题满分12分)某校的一个研究性学习小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为（1）求他们做了5次这种实验至少有2次成功的概率；（2）如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，但实验的总次数最多不超过5次，求该小组做实验的次数的概率分布列和期望解：（1）设5次实验中，只成功一次为事件A，一次都不成功为事件B，至少2次成功为事件C，则P(C)=1P(A+B)=1P(A)P(B)-2分=1-= 所以5次实验至少2次成功的概率为.-5分(2) 的可能取值为2,3,4,5. 又； -9分（每对一个得1 分）的分布列为：2345P-10分E=2

6、+3+4+5=-12分18(本小题满分12分)平面内有向量(1,7)，(5,1)，(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点(1)当取最小值时，求的坐标；(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cosAQB的值解：设(x.y)，与共线x2y (2y,y)，又(12y,7y)，(52y,1y)(12y)(52y)(7y)(1y) 5y220y12ABpxoyQ5(y2)288此时y2，(4,2)(2)当(4,2)时，(3,5)，(1,1)，8cosAQB19 (本小题满分12分)如图，在四棱锥中，侧棱PA底面ABCD， ADBC，ABC=，（） 求点D到平面PBC的距离； （） 求二面角的大小解：（

7、）如图，在四棱锥中，BCAD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离.ABC=，ABBC， 又PA底面ABCD，PABC，BC平面 PAB，2分平面PAB平面PBC，交线为PB，过A作AEPB，垂足为E，则AE平面PBC，AE的长等于点D到平面PBC的距离而，5分即点D到平面PBC的距离为6分 （） PA底面ABCD，平面PAD底面ABCD， 引CMAD于M，MNPD于N，则CM平面PAD，MN是CN在平面PAD上的射影，由三垂线定理可知CNPD， CNM是二面角的平面角9分依题意， 可知，二面角的大小为 12分解法二：如图, A为原点，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴

8、建立空间直角坐标系. （）依题意，. 则，.设平面PBC的一个法向量为，则 令，得，则点D到平面PBC的距离等于6分 （） ABPA，ABAD，AB底面PDA，平面PDA的一个法向量为.设平面PDC的一个法向量为，令，得，.二面角是锐二面角，二面角的大小为12分20.（本小题满分13分）如图，是抛物线的焦点，是准线与轴的交点，直线经过点。（1） 直线与抛物线有唯一公共点，求的方程；（2） 直线与抛物线交于A，B两点，（）记的斜率分别为，求的值；（）若点在线段上，且满足，求点的轨迹方程。RyxOQFBA解： 依题意，直线斜率存在，设其斜率为，则的方程为，代入抛物线方程有：2分（1）若，令得，此时

9、，的方程为。4分若，方程有唯一解。此时方程为5分（2）显然，记，则，7分（）9分（）设点的坐标为， 11分 ，12分由得，又，。综上，点R的轨迹方程为。13分21（本小题满分14分）已知函数(1) 若在上单调递增，求的取值范围；(2) 若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.试判断当时，是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明. 解：（）由，得 2分欲使函数为上单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立.也即在上恒成立.4分令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求. 6分（）证明：由 得 7分 8分 而 10分 又， 11分 ， 13分由、得即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. 14分