1、第五章数列5.2等差数列5.2.1等差数列课后篇巩固提升基础达标练1.已知等差数列an的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为()A.an=2n-5B.an=2n-3C.an=2n-1D.an=2n+1解析由题意得2(a+1)=(a-1)+(2a+3),解得a=0.所以an的前三项分别为-1,1,3,即a1=-1,d=2.故an=-1+(n-1)2=2n-3.答案B2.在等差数列an中,已知a4+a8=16,则a2+a10=()A.12B.16C.20D.24解析a2+a10=a4+a8=16,故选B.答案B3.一个等差数列的首项为23,公差为整数,且前6项均为正数,从第7
2、项起为负数,则公差为()A.-2B.-3C.-4D.-5解析设公差为d,dZ,由a6=23+5d0,且a7=23+6d0,得-235d0,d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.10.(2020湖南长沙高二学业考试)已知正项数列an的前n项和为Sn,且Sn=14(an+1)2(nN+).(1)求a1,a2;(2)求证:数列an是等差数列.(1)解由已知条件得,a1=14(a1+1)2.a1=1.又有a1+a2=14(a2+1)2,即a22-2a2-3=0.解得a2=-1(舍)或a2=3.(2)证明由Sn=14(an+1)2得当n2时,Sn-1=14(an-1+1)2,Sn-Sn-1=14(a
3、n+1)2-(an-1+1)2=14an2-an-12+2(an-an-1),即4an=an2-an-12+2an-2an-1,an2-an-12-2an-2an-1=0,(an+an-1)(an-an-1-2)=0,an-an-1-2=0,即an-an-1=2(n2).所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列.能力提升练1.在正整数100至400之间能被11整除的整数的个数是()A.25B.26C.27D.28解析由10011k400(kZ),得9111k36411.故k=10,11,36,共36-10+1=27(个).答案C2.设an是首项为50,公差为2的等差数列,bn是首项为10,公
4、差为4的等差数列,以ak和bk为两边的矩形内的最大圆的面积记为Sk,如果k21,那么Sk等于()A.(k+24)2B.(k+12)2C.(2k+3)2D.(2k+1)2解析由题意,得ak=2k+48,bk=4k+6,bk-ak=(4k+6)-(2k+48)=2k-42.k21,2k-420,bk2的解集为x|xb,则数列an的通项公式为.答案an=2n-14.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m-n|等于.解析设a1=14,a2=14+d,a3=14+2d,a4=14+3d,而方程x2-2x+m=0的两根之和为2,方程x2-2x+n=0的
5、两根之和也为2,a1+a2+a3+a4=1+6d=4.d=12.因此a1=14,a4=74是一个方程的两根,a2=34,a3=54是另一个方程的两个根.m,n分别为716,1516.|m-n|=12.答案125.已知函数f(x)=cos x,x(0,2)有两个不同的零点x1,x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列,能构成等差数列,则实数m=.答案-326.(2020新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期末)等差数列an中,a3=8,a7=20.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列1anan+1的前n项和Sn.解(1)设等差数列公差为d,由a7-a3=4d
6、=12,得d=3,an=3n-1.(2)1anan+1=1(3n-1)(3n+2)=1313n-1-13n+2,Sn=1a1a2+1a2a3+1anan+1=1312-15+15-18+13n-1-13n+2=1312-13n+2=n2(3n+2).7.已知数列an满足a1=2,an=2an-1+2n+1(n2,nN+).(1)设bn=an2n,求证数列bn是等差数列,并写出其通项公式;(2)若数列cn满足cn=2n+1,且对于任意正整数n,不等式abn+41+1c11+1c21+1cn恒成立,求正数a的取值范围.分析本题(1)实际上降低了难度,构造数列bn,使其构成等差数列并求解.由定义,只
7、需证明bn-bn-1=d(n2)即可.(2)恒成立问题通常转化为与最大值、最小值比较.a1bn+41+1c11+1c21+1cn,故只需求出此不等式右边的最小值.(1)证明an=2an-1+2n+1,an2n=an-12n-1+2(n2,nN+).bn=an2n,bn=bn-1+2(n2,nN+).又b1=a12=1,bn是以1为首项,2为公差的等差数列.bn=1+(n-1)2=2n-1.(2)解由abn+41+1c11+1c21+1cn,得a12n+31+1c11+1c21+1cn对任意正整数n恒成立,记f(n)=12n+31+1c11+1c21+1cn,则f(n+1)f(n)=2n+32n
8、+51+1cn+1=2n+32n+52n+42n+3=4n2+16n+164n2+16n+151.又f(n)0,f(n+1)f(n),即f(n)单调递增.故f(n)min=f(1)=4515,0a4515.即a的取值范围是0,4515.素养培优练数列an满足a1=1,an+1=(n2+n-)an(n=1,2,),是常数.(1)当a2=-1时,求及a3的值.(2)是否存在实数使数列an为等差数列?若存在,求出及数列an的通项公式;若不存在,请说明理由.解(1)由于an+1=(n2+n-)an(n=1,2,),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-,故=3.从而a3=(22+2-3)(-1)=-3.(2)数列an不可能为等差数列,证明如下:由a1=1,an+1=(n2+n-)an,得a2=2-,a3=(6-)(2-),a4=(12-)(6-)(2-).若存在,使an为等差数列,则a3-a2=a2-a1,即(5-)(2-)=1-,解得=3.于是a2-a1=1-=-2,a4-a3=(11-)(6-)(2-)=-24.这与an为等差数列矛盾.所以,不存在实数使数列an是等差数列.
