1、第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差课后篇巩固提升基础达标练1.已知X的分布列为X1234P14131614则D(X)的值为()A.2912B.121144C.179144D.1712解析E(X)=114+213+316+414=2912,D(X)=1-2912214+2-2912213+3-2912216+4-2912214=179144.答案C2.(2019浙江杭州四中高三期中)设0a1,已知随机变量X的分布列是X0a1P131313若D(X)=16,则a=()A.12B.13C.14D.15解析E(X)=013+a13+113=1+a3,D(
2、X)=1+a3213+(a-1+a3)213+(1-1+a3)213=127(a+1)2+(2a-1)2+(a-2)2=29(a2-a+1)=16,4a2-4a+4=3,即(2a-1)2=0,解得a=12.答案A3.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为X1(甲得分)012P0.20.50.3X2(乙得分)012P0.30.30.4现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好()A.甲B.乙C.甲、乙均可D.无法确定解析E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.120.2+0.120.5+0.920.3=0.49,D(X2)=1.120.3+0.120.3+0.920.4=0
3、.69,D(X1)D(X2).故甲比乙得分稳定,故派甲运动员参加较好.答案A4.(2020北京高三月考)已知随机变量,的分布列如下表所示,则()123P131216123P161213A.E()E(),D()D()B.E()D()C.E()E(),D()=D()D.E()=E(),D()=D()解析由题意得,E()=113+212+316=116,D()=(1-116)213+(2-116)212+(3-116)216=51108.E()=116+212+313=136,D()=1-136216+2-136212+3-136213=51108,故E()E(),D()D(X乙),乙种水稻比甲种水
4、稻分蘖整齐.答案B2.已知X的分布列如表所示.X-101P121316有下列式子:E(X)=-13;D(X)=2327;P(X=0)=13.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析E(X)=(-1)12+013+116=-13,故正确.D(X)=-1+13212+0+13213+1+13216=59,故不正确.由分布列知正确.答案C3.(多选)(2019山东高二期末)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结论正确的为()A.q=0.1B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(Y)=
5、5,D(Y)=7.2解析因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;E(X)=00.1+10.4+20.1+30.2+40.2=2,D(X)=(0-2)20.1+(1-2)20.4+(2-2)20.1+(3-2)20.2+(4-2)20.2=1.8,故B错误,C正确;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.故选ACD.答案ACD4.某旅游公司为三个旅游团提供了a,b,c,d四条旅游线路,每个旅游团队可任选其中一条线路,则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)=.解析由题意知X的可能取值有0,1,2,3,则P(X=0)=
6、3343=2764,P(X=1)=C313243=2764,P(X=2)=C32343=964,P(X=3)=143=164.故E(X)=02764+12764+2964+3164=34,D(X)=0-3422764+1-3422764+2-342964+3-342164=9162764+1162764+2516964+8116164=916.答案9165.若p为非负实数,随机变量X的分布列为X012P12-pp12则E(X)的最大值是,D(X)的最大值是.解析由分布列性质可知p0,12,则E(X)=p+11,32,故E(X)的最大值为32.又D(X)=12-p(p+1)2+p(p+1-1)2
7、+12(p+1-2)2=-p2-p+1=-p+122+54,p0,12,故当p=0时,D(X)取得最大值1.答案3216.有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示.甲:分数X8090100概率P0.20.60.2乙:分数Y8090100概率P0.40.20.4试分析两名学生的成绩水平.解E(X)=800.2+900.6+1000.2=90,D(X)=(80-90)20.2+(90-90)20.6+(100-90)20.2=40,E(Y)=800.4+900.2+1000.4=90,D(Y)=(80-90)20.4+(90
8、-90)20.2+(100-90)20.4=80,E(X)=E(Y),D(X)D(Y),甲生与乙生的成绩均值一样,甲的方差较小,因此甲生的学习成绩较稳定.素养培优练A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1(单位:万元)和Y2(单位:万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);(2)将x(0x100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的
9、和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值.解(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)=50.8+100.2=6,D(Y1)=(5-6)20.8+(10-6)20.2=4;E(Y2)=20.2+80.5+120.3=8,D(Y2)=(2-8)20.2+(8-8)20.5+(12-8)20.3=12.(2)f(x)=Dx100Y1+D100-x100Y2=x1002D(Y1)+100-x1002D(Y2)=41002x2+3(100-x)2=41002(4x2-600x+31002).所以当x=60024=75时,f(x)=3为最小值.
