1、第六章计数原理6.2排列与组合6.2.3组合6.2.4组合数课后篇巩固提升基础达标练1.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为()A.4B.8C.28D.64解析由于“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建C82=28(条)公路.答案C2.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有()A.140种B.120种C.35种D.34种解析若选1男3女有C41C33=4(种);若选2男2女有C42C32=18(种);若选3男1女有C43C31=12(
2、种).所以共有4+18+12=34(种)不同的选法.故选D.答案D3.已知Cn+17-Cn7=Cn8,则n等于()A.14B.12C.13D.15解析由题意,得Cn+17=Cn+18,故7+8=n+1,解得n=14.答案A4.(2019北京高二期末)某校有6名志愿者,在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务,任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”“欢乐世园共绘展板”“传递祝福发放彩绳”三项活动,其中1人负责“征集留言”,2人负责“共绘展板”,3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有()A.30种B.60种C.120种D.180种解析从6人中选1人负责“征集留言”,从剩下的人中选2人负责“共绘展
3、板”,最后剩下的3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有C61C52C33=60(种).故选B.答案B5.(2020浙江高三专题练习)安排A,B,C,D,E,F共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,则安排方法共有()A.30种B.40种C.42种D.48种解析6名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人共有C62C42=90(种)安排方法,其中A照顾老人甲的情况有C51C42=30(种),B照顾老人乙的情况有C51C42=30(种),A照顾老人甲,同时B照顾老人乙的情况有C41C31=12(种)
4、.故符合题意的安排方法有90-30-30+12=42(种).故选C.答案C6.若已知集合P=1,2,3,4,5,6,则集合P的子集中含有3个元素的子集数为.解析由于集合中的元素具有无序性,因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关,是组合问题,共有C63=20(个)子集.答案207.不等式Cn2-n5的解集为.解析由Cn2-n5,得n(n-1)2-n5,n2-3n-100.解得-2n5.由题设条件知n2,且nN*,n=2,3,4.故原不等式的解集为2,3,4.答案2,3,48.若对任意的xA,则1xA,就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合M=-1,0,13,12,1,2,3,4的所有非空子集中,具
5、有伙伴关系的集合的个数为.解析具有伙伴关系的元素组有-1;1;12,2;13,3,共4组.所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组.又因为集合中的元素是无序的,所以所求集合的个数为C41+C42+C43+C44=15.答案159.某区有7条南北向街道,5条东西向街道.(如图)(1)图中有多少个矩形?(2)从A点走向B点最短的走法有多少种?解(1)在7条南北向街道中任选2条,5条南北向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成矩形有C72C52=210(个).(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4
6、段,从A到B最短的走法包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即是从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的),共有C106=C104=210(种)走法.能力提升练1.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有()A.72种B.84种C.120种D.168种解析需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯形成的10个空中,所以关灯方案共有C103=120(种).答案C2.(2020黑龙江海林朝鲜族中学高二月考)若Cn2A22=42,则n!3!(n-4)!=()A.60B.70C.120D.140解析Cn2A22=42=n(
7、n-1)221,解得n=7,n!3!(n-4)!=7!3!3!=7654321=140.故选D.答案D3.已知集合A=5,B=1,2,C=1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33B.34 C.35D.36解析所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C21A33=12(个);所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C21A33+A33=18(个);所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C31=3(个).故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33(个).故选A.答案A4.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参
8、观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()A.50种B.60种C.120种D.210种解析先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7).甲任选一种为C61,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A52种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C61A52=120(种),故选C.答案C5.(多选)(2020江苏盐城大丰新丰中学高二期中)有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区,若医疗小组至少
9、有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N,则下列等式能成为N的算式是()A.C135-C71C64B.C72C63+C73C62+C74C61+C75C.C135-C71C64-C65D.C72C113解析13名医生,其中女医生6人,男医生7人.(方法一直接法)2男3女C72C63;3男2女C73C62;4男1女C74C61;5男C75,所以N=C72C63+C73C62+C74C61+C75.(方法二间接法)13名医生,任取5人,减去4、5名女医生的情况,即N=C135-C71C64-C65.故选BC.答案BC6.某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本,从中取出4本赠送
10、给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有种.解析依题意,就所剩余的1本进行分类:第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有C42=6(种).因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种).答案107.4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,则恰好有1个空盒子的放法有种.解析由题意知,必有1个盒子内放入2个小球,从4个小球中取出2个小球,有C42种取法,此时把它看作1个小球,与另2个小球共3个小球放入4个盒子中,有A43种放法,所以满足题意的放法有C42A43=144(种).答案1448.(1)计算:C85+C1
11、0098C77.(2)求证:Cm+2n=Cmn+2Cmn-1+Cmn-2.(1)解原式=C83+C10021=876321+1009921=56+4950=5006.(2)证明由组合数的性质Cn+1m=Cnm+Cnm-1可知,右边=(Cmn+Cmn-1)+(Cmn-1+Cmn-2)=Cm+1n+Cm+1n-1=Cm+2n=左边.所以原等式成立.素养培优练1.有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法?(1)甲得4本、乙得3本、丙得2本;(2)一人得4本、一人得3本、一人得2本;(3)甲、乙、丙各得3本.解(1)分三步完成:第1步,从9本不同的书中,任取4本分给甲
12、,有C94种方法;第2步,从余下的5本书中,任取3本给乙,有C53种方法;第3步,把剩下的书给丙,有C22种方法,所以甲得4本、乙得3本、丙得2本,共有C94C53C22=1260(种)不同的分法.(2)分两步完成:第1步,按4本、3本、2本分成三组有C94C53C22种方法;第2步,将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有A33种方法,所以一人得4本、一人得3本、一人得2本,共有C94C53C22A33=7560(种)不同的分法.(3)用与(1)相同的方法即可求解,可得甲、乙、丙各得3本,共有C93C63C33=1680(种)不同的分法.2.(2020吉林梅河口第五中学高二月考)按照下列要求,
13、分别求有多少种不同的方法?(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子;(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有1个空盒.解(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个小球都有3种可能,利用分步乘法计数原理可得不同的方法有35=243(种).(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,先把5个小球分组,分法有2,2,1和3,1,1两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有C52C32C11A22+C53A33=150(种).(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,类似于在5个小球间的空隙中,放入2个隔板,把小球分为3组,故不同的方法共有C42=6(种).(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有一个空盒,先把5个小球分2组,分法有3,2,0和4,1,0两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有(C53C22+C54)A33=90(种).
