1、二用数学归纳法证明不等式举例课后篇巩固探究1.用数学归纳法证明1+1)时,第一步是证下述哪个不等式成立()A.12B.1+2C.1+2D.1+2解析当n=2时,左边=1+,右边=2,所以应证1+-1,x0,则下列不等式正确的是()A.(1+x)31+3xB.(1+x1+xC.(1+x)-21-2xD.(1+x1,不成立;当n=2时,左边=2+1=3,右边=,3,成立;当n=3时,左边=3+3+1=7,右边=31=3,73,成立.所以n的最小值n0为2.答案B4.导学号26394067某同学回答“用数学归纳法证明n+1(nN+)”的过程如下:证明:(1)当n=1时,显然不等式是成立的;(2)假设
2、当n=k(k1)时不等式成立,即k+1.当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时不等式是正确的.由(1)(2)可知,对于nN+,不等式都是正确的.以上证法是错误的,错误在于()A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从k到k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体解析证明(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设时,f(2k+1)比f(2k)多的项为.解析f(2k+1)-f(2k)=1+.答案+6.已知x0,观察下列几个不等式:x+2;x+3;x+4;x+5归纳猜想一般的不等式为.答案x+n+1(n为正整数)7.用数学归纳法证明(a
3、,b是非负实数,nN+)时,假设当n=k时不等式(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘.解析对比k与k+1时的结论可知,两边只需同乘即可.答案8.用数学归纳法证明1+2(nN+).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k1)时不等式成立,即1+2.当n=k+1时,1+2=2.所以当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式对任意nN+都成立.9.导学号26394068若不等式+对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.解取n=1,则有成立,所以,因此a0,于是+,即当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)知,对一切正整数n,都有+,且正整数a的最大值等于25.10.导学号26394069已知数列an满足:a1=,且an=(n2,nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)求证对一切正整数n,不等式a1a2an2n!恒成立.(1)解将条件变为1-,因此数列为一个等比数列,其首项为1-,公比为,从而1-,因此得an=(n1).(2)证明由得a1a2an=.为证a1a2an1-.即当n=k+1时,式也成立.故对一切nN+,式都成立.利用,得1-=1-=1-.故原不等式成立.
