1、2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算【知识提炼】1.平面向量正交分解的定义 把一个平面向量分解为两个_的向量.2.平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 _i，j作为_.互相垂直单位向量基底(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得 a=_，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标.(3)坐标表示：a=(x，y).(4)特殊向量的坐标：i=_，j=_，0=(0，0).xi+yj(1，0)(0，1)3.平面向量的坐标运算 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，R，则有下表：文字描述 符号表
2、示 加 法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_ a+b=_ 减 法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_ a-b=_ 和差(x1+x2，y1+y2)(x1-x2，y1-y2)文字描述 符号表示 数 乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 a=_ 重要 结论 一个向量的坐标等于表示此 向量的有向线段的_的 坐标减去_的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 =_ (x1，y1)终点起点AB(x2-x1，y2-y1)【即时小测】1.思考下列问题.(1)与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a=(x，0)；与y轴
3、平行的向量的横坐标为0，即b=(0，y).(2)若把向量 平移到 ，则 和 的坐标相同吗？的坐标 是C点的坐标吗？提示：相同，的坐标不是C点的坐标，只有点B与原点O重合时 的 坐标才是C点坐标.OABCOABCBCBCBC2.如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列是正交分解的 是()【解析】选B.由于 ，则 是正交分解 A.ABOBOA B.BDADABC.ADABBD D.ABACCBADABBDADAB3.在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a=i-2j，则向量用坐标表示a=_.【解析】由于i，j是两个互相垂直的单位向量，所以a=(1，-2).答案：(1
4、，-2)4.若a=(2，3)，b=(-3，1)，则a+b=_.【解析】a+b=(2，3)+(-3，1)=(-1，4).答案：(-1，4)5.若点M(3，5)，点N(2，1)，用坐标表示向量 =_【解析】=(2，1)-(3，5)=(-1，-4).答案：(-1，-4)MNMN【知识探究】知识点1 平面向量的正交分解及坐标表示 观察图形，回答下列问题：问题1：点的坐标与向量的坐标有什么区别？问题2：相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点一定相同吗？【总结提升】1.解读平面向量的坐标表示(1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关.(2)向量确定后，向量的坐标就被确定了.(
5、3)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示.有了向量的坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决.2.辨析点的坐标与向量坐标(1)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同.(2)书写不同：向量a=(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号.(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y).(4)给定一个向量，它的坐标是唯一的，对应一对实数，由于向量可以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个.注意：相
6、等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同.知识点2 平面向量的坐标运算 观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：两个向量的和与差、实数与向量的积的坐标如何运算？问题2：求向量 的坐标需要哪些向量？问题3：向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？AB【总结提升】1.两个向量和(差)的坐标 由于向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)等价于a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，则a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2)，同理可得a-b=(x1-x2，y1-y2).这就是说，两个向量和(差
7、)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).2.实数与向量的积的坐标 由a=(x，y)，可得a=xi+yj，则 a=(xi+yj)=xi+yj.从而 a=(x，y).这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.【题型探究】类型一 平面向量的坐标表示【典例】1.已知基向量i=(1，0)，j=(0，1)，m=4i-j，则m的坐标 是()A.(4，1)B.(-4，1)C.(4，-1)D.(-4，-1)2.如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为 基底，分别用i，j表示 并求出它们的坐标.OA OB AB，【解题探究】1.典例1中向量i与向量j有什么关系？提示：向量i与向
8、量j垂直.2.典例2中，点A，B的坐标分别是多少，如何用 表示.提示：A(6，2)，B(2，4)，ABOAOB与ABOBOA.【解析】1.选C.因为向量i与向量j垂直，m=4i-j，所以m=(4，-1).2.由图形可知，=6i+2j，=2i+4j，=-4i+2j，它们的坐标表示为：=(6，2)，=(2，4)，=(-4，2).OAOBABABOAOB【方法技巧】求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.【变式训练】已知边长为1的正方形ABCD中
9、，AB与x轴正半轴成30角，则 =_，=_.ABAD【解析】由题知B，D分别是30，120角的终边与单位圆的交点.设B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函数的定义，得x1=cos30=y1=sin30=，所以 x2=cos120=-，y2=sin120=所以 所以 答案：32，123 1B().22，1232，13D()22，3 113AB()AD().2222，3 1()22，13()22，【补偿训练】在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|=2，|b|=3，|c|=4，分别计算出它们的坐标.【解题指南】题目中给出了向量a，b，c的模以及与坐标轴的夹角，要求向量的坐
10、标，先将向量正交分解，把它们分解为横、纵坐标的形式，然后写出其相应的坐标.【解析】设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，c=(c1，c2)，则a1=|a|cos45=2 a2=|a|sin45=2 b1=|b|cos120=3 b2=|b|sin120=3 c1=|c|cos(-30)=4 c2=|c|sin(-30)=4 因此a=()，b=，c=(2 ，-2).222，222，13()22 ，33 322，32 32，1()2.2 22，3 3 3()22，3类型二 平面向量的坐标运算【典例】1.已知平面上三个点A(4，6)、B(7，5)、C(1，8)，则 =_，=_.2.已知a=(1，
11、2)，b=(-3，4)，求向量a+b，a-b，3a-4b的坐标 ABAC12ABAC2【解题探究】1.典例1中 ，的坐标分别为多少？提示：=(3，-1)，=(-3，2).2.典例2中如何求向量和、差、数乘的坐标？提示：直接利用平面向量的坐标运算求解.ABACABAC【解析】1.因为A(4，6)、B(7，5)、C(1，8)所以 =(7，5)-(4，6)=(3，-1)；=(1，8)-(4，6)=(-3，2)；=(3，-1)-(-3，2)=(6，-3)；=2(3，-1)+(-3，2)=(6，-2)+答案：(6，-3)ABACABAC12ABAC21239(1)(1).22，9(1)2，2.a+b=(
12、1，2)+(-3，4)=(-2，6)；a-b=(1，2)-(-3，4)=(4，-2)；3a-4b=3(1，2)-4(-3，4)=(15，-10)【延伸探究】若典例1中条件不变，则 的坐标是多少？【解析】因为A(4，6)、B(7，5)、C(1，8)，所以 =(7，5)-(1，8)=(6，-3)，=(4，6)-(7，5)=(-3，1)，所以 12CBBA23CBBA12123213CBBA63(31)(3)(2)(5).2323236，【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，
13、然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.【变式训练】1.若向量 =(2，3)，=(4，7)，则 =()A.(-2，-4)B.(3，4)C.(6，10)D.(-6，-10)【解析】选A.因为 =(2，3)，=(4，7)，BACABCBACA BCBAACBACA2 34 724.，2.已知a=(-1，2)，b=(2，1)，求：(1)2a+3b.(2)a-3b.(3).【解析】(1)2a+3b=2(-1，2)+3(2，1)=(-2，4)+(6，3)=(4，7)(2)a-3b=(-1，2)-3(2，1)=(-1，2)-(6，3)=(-7，-1)111112 17 2
14、31 2(2 1)(1)()().232323 36 3 ，ab1123ab【补偿训练】如图所示，已知ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求 的坐标 DF【解析】因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，所以 =(3-7，5-8)=(-4，-3)，=(4-7，3-8)=(-3，-5)又因为D是BC的中点，所以 因为M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点 所以 ABAC11ADABAC(4335)22 ，1778(4)22，1177DFFDAD(4)(2)2224 ，类型三 由相等向量求坐标【典例】1.(2
15、015江苏高考)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若 ma+nb=(9，-8)(m，nR)，则m-n的值为_.2.已知A(2，4)、B(-4，6)，若 则 的坐标为_.3.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及 (1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由.34ACAB BDBA23，OPOAtAB.CD【解题探究】1.典例1中如何利用ma+nb=(9，-8)这个条件？提示：先求出ma+nb的坐标，然后根据相等向量的坐标对应相等求解 m，n.2.典例2中 能确定哪些点的坐标？提示：由 可确定点C的坐标，
16、由 可确定点D的坐标.3.典例3中点P在x轴上，在y轴上的坐标有何特点？提示：点P在x轴上，纵坐标为0，在y轴上横坐标为0.34ACAB BDBA23，3ACAB24BDBA3【解析】1.因为a=(2，1)，b=(1，-2)，所以ma+nb=m(2，1)+n(1，-2)=(2m+n，m-2n).又因为ma+nb=(9，-8)，所以 解得 所以m-n=-3.答案：-3 2mn9m2n8.，m2n5.，2.设C(x，y)，则由 得，(x-2，y-4)=(-6，2)，解得x=-7，y=7，即点C的坐标为C(-7，7)又设D(m，n)，则由 得，(m+4，n-6)=(6，-2)，解得m=4，n=，即D
17、点的坐标为(4，)故 答案：3ACAB2324BDBA3431031031011CD(4)7 7(11).33，11(11)3，3.(1)=(1，2)+t(3，3)=(1+3t，2+3t)，若点P在x轴上，则2+3t=0，所以t=-.若点P在y轴上，则1+3t=0，所以t=-.(2)=(1，2)，=(3-3t，3-3t)若四边形OABP为平行四边形，则 所以 该方程组无解 故四边形OABP不能成为平行四边形 OPOAtAB2313OAPBOAPB，33t133t2，【延伸探究】1.(改变问法)若本例3条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？【解析】由 得 所以当t=2时，B为线段AP的中点
18、 OPOAtABAPtAB.AP2AB，2.(改变问法)若本例3条件不变，问t为何值时，点P在第二象限？【解析】若点P在第二象限，则 所以 1 3t023t0，21t.33 【方法技巧】坐标形式下向量相等的条件及其应用(1)条件：相等向量的对应坐标相等.(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值.【变式训练】(2015泰安高一检测)已知向量 =(3，-4)，=(6，-3)，=(2，-6).(1)若四边形ABCD为平行四边形，求D点坐标.(2)若 求实数 的值.OAOBOCOAxOByOC，yx【解析】(1)设D点坐标为(m，n)，则 =(m，n)，因为 =
19、(3，-4)，=(6，-3)，=(2，-6)，所以 =(6，-3)-(3，-4)=(3，1)，=(2，-6)-(m，n)=(2-m，-6-n).又因为四边形ABCD为平行四边形，所以 所以 所以 所以D点坐标为(-1，-7).ODOAOBOCABOBOADCOCODABDC，2m36n1，m1n7 ，(2)因为 所以(3，-4)=x(6，-3)+y(2，-6)=(6x+2y，-3x-6y)，所以 解得 所以 OAxOByOC，6x2y33x6y4，1x31y2，1y32.1x23【补偿训练】已知A(1，-2)、B(2，1)、C(3，2)和D(-2，3)，以 为一组基底来表示【解析】因为 =(1
20、，3)，=(2，4)，=(-3，5)，=(-4，2)，=(-5，1)，所以 =(-3，5)+(-4，2)+(-5，1)=(-12，8)根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得 AB AC，ADBDCD.ABACADBDCDADBDCD所以(-12，8)=m(1，3)+n(2，4)，也就是(-12，8)=(m+2n，3m+4n)，即 解得m=32，n=-22.所以 ADBDCDm ABn AC，12m2n83m4n，ADBDCD32AB22AC.易错案例 向量的坐标与点的坐标【典例】(2015湛江高一检测)已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若第三象限的点P满足 则实数 的取
21、值范围为()3A.1 B.()543C.(1)D.(1)75 ，APABAC，【失误案例】【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：错误的根本原因是混淆了向量 的坐标与点P的坐标，误认为(3+5，1+7)为P的坐标.AP【自我矫正】选A.方法一：设P(x，y)，则 =(x-2，y-3)，又 于是可得，(x-2，y-3)=(3+5，1+7)，所以 即 因为点P在第三象限，所以 解得-1.故所求实数的取值范围是(-，-1)APAPABAC315 7351 7 ，x235y31 7 ，x55y74.，550740 ，方法二：所以P(5+5，4+7)，因为点P在第三象限内，所以 所以-1.OPOAAPOAABACOBAC5 4(5 7)5547 ，550470 ，【防范措施】明确向量坐标与点坐标的关注点(1)明确向量坐标与点坐标的概念，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标相同.(2)明确向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，正确进行向量的坐标运算是解题的关键.