1、8.1.2向量数量积的运算律课后篇巩固提升基础达标练1.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)(m-3n),mn,则k等于()A.43B.34C.-43D.-34解析由题意知,(m+kn)(m-3n)=m2-3kn2=4-3k=0,解得k=43.答案A2.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,则|a+3b|等于()A.7B.10C.13D.4解析|a+3b|=|a+3b|2=a2+6ab+9b2=1+61112+9=13.答案C3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)b=0,则=()A.30B.60C.120D.150解析由(2a+b)b=0,得2ab+b2=0,所以2|a
2、|b|cos+|b|2=0.所以cos=-|b|22|a|b|=-|b|22|b|2=-12,又0,180,所以=120.答案C4.(多选)已知向量m,n的夹角为6,且|m|=3,|n|=2,则|m-n|和m在n方向上的投影的数量分别等于()A.4B.2C.1D.32解析|m-n|2=m2-2mn+n2=3-23232+4=1,|m-n|=1.m在n方向上的投影的数量为|m|cos6=332=32.答案CD5.如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为.解析设AD=a,AB=b,则BD=a-b,AC=a+b,而|BD|=|a-b|=a2-2ab+b
3、2=1+4-2ab=5-2ab=2,所以5-2ab=4,所以ab=12,又|AC|2=|a+b|2=a2+2ab+b2=1+4+1=6,所以|AC|=6,即AC=6.答案66.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,是否存在实数,使a+b与a-2b垂直?解若(a+b)(a-2b),则(a+b)(a-2b)=0,a2-2b2-2ab+ab=0.a+b+c=0,c=-a-b,|c|2=|a+b|2=9+25+2ab=49,ab=152.9-225-2152+152=0.=-8512.存在=-8512,使得a+b与a-2b垂直.7.已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)(2a+
4、b)=61.(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|.解(1)(2a-3b)(2a+b)=61,4|a|2-4ab-3|b|2=61.ab=-6,cos=ab|a|b|=-643=-12.0,=23.(2)|a+b|=(a+b)2=a2+2ab+b2=16-12+9=13.能力提升练1.(多选)设a,b,c是平面内任意的非零向量,且相互不共线,其中是真命题的有()A.(ab)c-(ca)b=0B.|a|-|b|a-b|C.(bc)a-(ca)b不与c垂直D.(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2解析由b,c是平面内任意向量知选项A错误;由三角形的三边关系得选项B正确;由(bc)a
5、-(ca)bc=(bc)(ac)-(ca)(bc)=0得选项C错误;选项D显然正确.答案BD2.设O为ABC的外心,ODBC于点D,且|AB|=3,|AC|=1,则AD(AB-AC)的值是()A.1B.2C.2D.3解析由O是ABC的外心及ODBC可知D为边BC的中点,易知AD=12(AB+AC),所以AD(AB-AC)=12(AB+AC)(AB-AC)=12(|AB|2-|AC|2)=1.答案A3.如图所示,在ABC中,ADAB,BC=3BD,|AD|=1,则ACAD等于()A.23B.32C.33D.3解析(方法一)基底法BC=3BD,AC=BC-BA=3BD-BA=3(AD-AB)+AB
6、=3AD+(1-3)AB.又ADAB,|AD|=1,ACAD=3ADAD+(1-3)ABAD=3.(方法二)定义法设BD=a,则BC=3a,如图所示,作CEBA,交BA的延长线于点E,易知DAC=ACE,在BAD与BEC中,B=B,DAB=CEB=90,BADBEC,BDBC=ADCE,CE=3,cosDAC=cosACE=ECAC=3AC.ACAD=|AC|AD|cosDAC=3.故选D.答案D4.已知向量a,b的夹角为120,|a|=|b|=1,c与a+b同向,则|a-c|的最小值为()A.1B.12C.34D.32解析因为|a|=|b|=1,c与a+b同向,所以a与c的夹角为60.又|a
7、-c|=a2-2ac+c2=1-|c|+|c|2=(|c|-12)2+34,故当|c|=12时,|a-c|的最小值为32.答案D5.已知ABC中,AB=6,AC=4,O为ABC所在平面内一点,满足|OA|=|OB|=|OC|,则AO在AB方向上的投影的数量为.解析|OA|=|OB|=|OC|,点O为ABC的外心,设OAB=,可得OBA=,AO在AB方向上的投影的数量为|AO|cos,BO在AB方向上的投影的数量为|BO|cos.由题意可知|AO|cos+|BO|cos=|AB|=6.又|OA|=|OB|=|OC|,|AO|cos=3,即AO在AB方向上的投影的数量为3.答案36.在四边形ABC
8、D中,ADBC,AB=23,AD=5,DAB=30,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则BDAE=.解析ADBC,且DAB=30,ABE=30.EA=EB,EAB=30.AEB=120.在AEB中,EA=EB=2,BDAE=(BA+AD)(AB+BE)=-BA2+BABE+ADAB+ADBE=-12+232cos30+523cos30+52cos180=-12+6+15-10=-1.答案-17.已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)(a+b)=12.(1)若ab=12,求向量a,b的夹角;(2)在(1)的条件下,求|a-2b|的值.解(1)(a-b)(a+b)=12,a2-b2=
9、|a|2-|b|2=12.又|a|=1,|b|=22,cos=ab|a|b|=22,0,故向量a,b的夹角为4.(2)|a-2b|=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=1.8.设ab,且|a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数.(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);(2)求出函数k=f(t)的最小值.解(1)因为ab,所以ab=0.又xy,所以xy=0,即a+(t-3)b(-ka+tb)=0,所以-ka2-k(t-3)ab+tab+t(t-3)b2=0.因为|a|=2,|b|=1,所以-4k+t2-3t=0,所以k=14(t2-3
10、t)(t0),即k=f(t)=14(t2-3t)(t0).(2)由(1),知k=f(t)=14(t2-3t)=14t-322-916,所以函数k=f(t)的最小值为-916.素养培优练如图,在直角三角形ABC中,已知BC=a.若长为2a的线段PQ以A为中点,问:PQ与BC的夹角取何值时,BPCQ最大?并求出这个最大值.解设PQ与BC的夹角为,则BPCQ=(AP-AB)(AQ-AC)=APAQ-APAC-ABAQ+ABAC=-a2-APAC+ABAP=-a2-AP(AC-AB)=-a2+12PQBC=-a2+a2cos.故当cos=1,即=0(PQ与BC方向相同)时,BPCQ最大,其最大值为0.
