1、第五章数列5.2等差数列5.2.2等差数列的前n项和课后篇巩固提升基础达标练1.已知在等差数列an中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于()A.160B.180C.200D.220解析(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=(-24)+78=54,又a1+a20=a2+a19=a3+a18,则3(a1+a20)=54,a1+a20=18.故S20=20(a1+a20)2=1018=180.答案B2.等差数列an的公差d0,且a12=a112,则该数列的前n项和Sn取得最大值时的项数n是()A.5B.6C.5或6D.6或7解析由a12=a11
2、2,得(a1+a11)(a1-a11)=0.又d0,且S6=S9,则()A.dS6D.S7或S8为Sn的最大值解析根据题意可得a7+a8+a9=0,得3a8=0,得a8=0.数列an是等差数列,a10,公差d0,所以数列an是单调递减数列.对于A、B,d0,则S50,此时1bn0,当n=5时,b5=-2,与凸多边形矛盾.答案A4.(2020贵港覃塘高级中学高一月考)设数列an的前n项和为Sn,点n,Snn(nN+)均在函数y=x+1的图像上,则a2 020=()A.-2 015B.-2 016C.-2 017D.4 040解析因为数列an的前n项和为Sn,点n,Snn(nN+)均在函数y=x+
3、1,所以点2020,S20202020,2019,S20192019均在函数y=x+1上,即S20202020=2020+1,S20192019=2019+1,整理得S2020=20212020,S2019=20202019,所以a2020=S2020-S2019=20212020-20202019=4040.故选D.答案D5.若两个等差数列的前n项和之比是(7n+1)(4n+27),则它们的第11项之比为.解析设等差数列an的前n项和为Sn,等差数列bn的前n项和为Tn,则a11=a1+a212,b11=b1+b212,a11b11=12(a1+a21)12(b1+b21)=12(a1+a2
4、1)2112(b1+b21)21=S21T21=721+1421+27=43.答案436.(2020嘉祥第一中学高三一模)我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(gu)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气,其晷长依次成等差数列,经记录测算,夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为16.5尺,这十二个节气的所有晷长之和为84尺,则夏至的晷长为尺.解析设此等差数列an的公差为d,由题意,得S12=84,a1+a5+a9=16.5,即12a1+12112
5、d=84,3a5=3(a1+4d)=16.5,解得a1=1.5,d=1.所以夏至的晷长为1.5尺.答案1.57.在数列an中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(nN+).(1)求数列an的通项公式.(2)设Sn=|a1|+|a2|+|an|,求Sn.(3)设bn=1n(12-an)(nN+),Tn=b1+b2+bn,是否存在最大整数m,使对任意nN+,均有Tnm32总成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.分析第(1)问由条件an+2-2an+1+an=0可知数列an是等差数列,可由已知条件求得公差,再代入通项公式得解.第(2)问先求得前几项是正数,从第几项开始
6、是负数,再求绝对值的和即可.第(3)问先求得Tn的值,再判断Tn是单调递增函数,可得T1是最小值,因此只要满足T1m32即可,从而求得m的值.解(1)由an+2-2an+1+an=0,得an+2-an+1=an+1-an,所以数列an是等差数列.由a1=8,a4=2,得d=-2,所以an=10-2n.(2)令an0,且an+15时,Sn=|a1|+|a2|+|an|=(a1+a2+a5)-(a6+a7+an)=2(a1+a2+a5)-(a1+a2+an)=220-(-n2+9n)=n2-9n+40.故Sn=-n2+9n,n5,n2-9n+40,n5.(3)bn=121n-1n+1,所以Tn=1
7、21-12+12-13+1n-1n+1=n2(n+1).所以Tn+1-Tn=12(n+2)(n+1)0,所以Tn单调递增.所以T1=14为Tn的最小值,要使Tnm32总成立,只需m32T1=14成立,所以m8.因为mZ,所以适合条件的m的最大值为7.8.数列an是各项为正数的数列,前n项和为Sn,且22Sn=an+2.(1)求证:an是等差数列;(2)令bn=1anan+1,数列bn的前n项和为Bn,求证:Bn0,an+an-10.an-an-1-4=0,an-an-1=4(n2).an是等差数列.(2)令n=1,有22S1=a1+2,22a1=a1+2,a1=2.故an=2+(n-1)4=4
8、n-2,bn=1anan+1=144anan+1=141an-1an+1.Bn=b1+b2+bn=141a1-1a2+1a2-1a3+1an-1an+1=141a1-1an+1=1412-14n+21412-0=18.Bn6an-5n-12,求n的取值范围;(3)若bn=1anan+1,求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题意得a2=a1+d=11,S7=7a1+21d=161,解得a1=5,d=6.所以an=6n-1.(2)由(1)得Sn=5n+n(n-1)26=3n2+2n,因为Sn6an-5n-12,即3n2-29n+180.解得n23或n9,因为n1且nN+,所以n的取值范围为n9且nN+.(3)因为bn=1anan+1=1(6n-1)(6n+5)=1616n-1-16n+5,所以Tn=1615-111+111-117+16n-1-16n+5=1615-16n+5=n5(6n+5).
