1、2复数的四则运算2.1复数的加法与减法课后篇巩固提升基础达标练1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是()A.-2B.4C.3D.-4解析z=1-(3-4i)=-2+4i,虚部为4,故选B.答案B2.(2020山东滕州第一中学新校高一月考)已知i为虚数单位,复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和z1+z2为实数,差z1-z2为纯虚数,则a,b的值分别为()A.-3,-4B.-3,4C.3,-4D.3,4解析因为z1=a+4i,z2=-3+bi,所以z1+z2=(a-3)+(4+b)i,又因为和z1+z2为实数,所以4+b=0,解得b=-4.因为z1-z2=(a+4i)-(-
2、3+bi)=(a+3)+(4-b)i,且为纯虚数,所以a+3=0,且4-b0,解得a=-3,且b4.故a=-3,b=-4.故选A.答案A3.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是()A.P0点的坐标为(1,2)B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C.复数z对应的点Z在一条直线上D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为22解析复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;设z=x+yi(x,yR),代入|z-1|=|z-i|,得
3、|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即(x-1)2+y2=x2+(y-1)2,整理得,y=x,即点Z在直线y=x上,C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0,Z两点之间距离的最小值,结合点到直线的距离公式可知,最小值为|1-2|2=22,故D正确.故选ACD.答案ACD4.如果一个复数与它的模的和为5+3i,那么这个复数是.解析设这个复数为z=x+yi(x,yR),所以x+yi+x2+y2=5+3i,所以x+x2+y2=5,y=3,所以x=115,y=3,所以x+yi=115+3i.答案115+3i能力提升练1.在ABCD中,点A,B,C分别对应复数4+i,3+4i,3-5
4、i,则点D对应的复数是()A.2-3iB.4+8iC.4-8iD.1+4i解析AB对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=-1+3i,设点D对应的复数为z,则DC对应的复数为(3-5i)-z.由平行四边形法则知AB=DC,所以-1+3i=(3-5i)-z,所以z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i=4-8i.故选C.答案C2.(多选)已知i为虚数单位,下列说法正确的是()A.若复数z满足|z-i|=5,则复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心,5为半径的圆上B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8iC.复数的模实质上是复平面内
5、复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模D.非零复数z1对应的向量为OZ1,非零复数z2对应的向量为OZ2,若|z1+z2|=|z1-z2|,则OZ1OZ2解析满足|z-i|=5的复数z在复平面内对应的点在以(0,1)为圆心,5为半径的圆上,A错误;设z=a+bi(a,bR),则|z|=a2+b2.由z+|z|=2+8i,得a+bi+a2+b2=2+8i,即a+a2+b2=2,b=8,解得a=-15,b=8,所以z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.故选CD.
6、答案CD3.如图所示,在复平面内的四个点O,A,B,C恰好构成平行四边形,其中O为原点,A,B,C所对应的复数分别是zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bi(a,bR),则zA-zC=.解析根据平面向量的定义可得OA+OC=OB,所以4+ai+(a+bi)=6+8i.因为a,bR,所以4+a=6,a+b=8,所以a=2,b=6.所以zA=4+2i,zC=2+6i,所以zA-zC=(4+2i)-(2+6i)=2-4i.答案2-4i素养培优练设z=a+bi(a,bR),且4(a+bi)+2(a-bi)=33+i,又=sin -icos ,求z的值和|z-|的取值范围.解因为4(a+bi)+2(a-bi)=33+i,所以6a+2bi=33+i,所以6a=33,2b=1,所以a=32,b=12.所以z=32+12i,所以z-=32+12i-(sin-icos)=32-sin+12+cosi.所以|z-|=(32-sin)2+(12+cos)2=2-3sin+cos=2-2(32sin-12cos)=2-2sin(-6),因为-1sin-61,所以02-2sin-64,所以0|z-|2,故求得z=32+12i,|z-|的取值范围是0,2.
