2020-2021学年高中数学 第二章 平面向量及其应用测评课后习题（含解析）北师大版必修第二册.docx

1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知在ABCD中,AD=(2,8),AB=(-3,4),则AC=()A.(-1,-12)B.(-1,12)C.(1,-12)D.(1,12)解析因为四边形ABCD是平行四边形,所以AC=AB+AD=(-1,12).答案B2.如果a,b是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是()A.a=bB.ab=1C.a=-bD.|a|=|b|解析两个单位向量的方向不一定相同或相反,所以选项A,C不正确;由于两个单位向量的夹角不确定,则ab=1不成立,所以选项B不正确;|a|=|b|=1,则选项D正确.答案D

2、3.如图,a-b等于()A.2e1-4e2B.-4e1-2e2C.e1-3e2D.3e1-e2解析a-b=e1-3e2.答案C4.如图,正方形ABCD中,点E,F分别是DC,BC的中点,那么EF=()A.12AB+12ADB.-12AB-12ADC.-12AB+12ADD.12AB-12AD解析EF=12DB=12(AB-AD).答案D5.已知A船在灯塔C北偏东70方向2 km处,B船在灯塔C北偏西50方向3 km处,则A,B两船的距离为()A.19 kmB.7 kmC.(6+1) kmD.(6-1) km解析根据题意,在平面直角坐标系中作示意图,如图所示,易知在ABC中,BC=3,AC=2,

3、BCA=120,故由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosBCA,解得AB2=19,则AB=19.故选A.答案A6.已知a,b,c是共起点的向量,a,b不共线,且存在m,nR使c=ma+nb成立,若a,b,c的终点共线,则必有()A.m+n=0B.m-n=1C.m+n=1D.m+n=-1解析设OA=a,OB=b,OC=c,因为a、b、c的终点共线,所以设AC=AB,即OC-OA=(OB-OA),所以OC=(1-)OA+OB,即c=(1-)a+b.又c=ma+nb,所以1-=m,=n,所以m+n=1.答案C7.在100 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30和60,则塔

4、高是()A.4003 mB.40033 mC.20033 mD.2003 m解析如图所示,山高为AB=100m,塔高为CD,根据题意可知BCA=60,CBD=30.在RtABC中,BC=ABsinBCA=10032=20033,在BCD中,CBD=BCD=30,BDC=120,由正弦定理得CDsin30=BCsin120,CD=122003332=2003.故选D.答案D8.已知|OA|=|OB|=|OC|=1,D为BC的中点,且|BC|=3,则ADBC的最大值为()A.32B.32C.3D.2解析因为|OA|=|OB|=|OC|=1,所以A,B,C在以O为圆心半径为1的圆上.以O为原点,OD

5、所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,因为|BC|=3,|OB|=1,D为BC的中点,所以|OD|=12,则B-32,-12,C32,-12,D0,-12,设A(x,y),则AD=-x,-12-y,BC=(3,0),所以ADBC=-3x,因为-1x1,当A与E重合,即x=-1时,ADBC的最大值为3.故选C.答案C二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)9.已知ABC的面积为32,且b=2,c=3,则A=()A.30B.60C.150D.120解析因为S=12bcsinA=32,所以1223sinA=32,所以sinA=32,因为0A180,所以A=60或120.故选BD.答案BD1

6、0.下列命题中,正确的是()A.对于任意向量a,b,有|a+b|a|+|b|B.若ab=0,则a=0或b=0C.对于任意向量a,b,有|ab|a|b|D.若a,b共线,则ab=|a|b|解析由向量加法的三角形法则可知A正确;当ab时,ab=0,故B错误;因为|ab|=|a|b|cos|a|b|,故C正确;当a,b共线同向时,ab=|a|b|cos0=|a|b|,当a,b共线反向时,ab=|a|b|cos180=-|a|b|,故D正确.故选ACD.答案ACD11.(2020福建宁化第一中学高一月考)在ABC中,根据下列条件解三角形,其中恰有一解的是()A.b=7,c=3,C=6B.b=5,c=6

7、,C=4C.a=6,b=33,B=3D.a=20,b=15,B=6解析A选项,因为C=6,为锐角,c=3b=5,所以三角形有一解;C选项,因为B=3,为锐角,b=33=asinB=33,所以三角形有一解;D选项,因为B=6,为锐角,b=15asinB=10,所以三角形有两解.故选BC.答案BC12.在ABC中,下列结论正确的是()A.AB-AC=BCB.ABBC0,则ABC为锐角三角形解析AB-AC=CB,故A错误;设为向量AB与BC的夹角,因为ABBC=|AB|BC|cos,而cos1,故ABBC0,但ABC为钝角三角形,故D错误.故选BC.答案BC三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共2

8、0分)13.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)c,则m=,|b+c|=.解析因为a=(2,-1),b=(-1,m),所以a+b=(1,m-1).因为(a+b)c,c=(-1,2),所以2-(-1)(m-1)=0.所以m=-1.则b+c=(-2,1),则|b+c|=(-2)2+12=5.答案-1514.在ABC中,若B=60,2b=a+c,则ABC的形状是.解析根据余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.因为B=60,2b=a+c,所以a+c22=a2+c2-2accos60,整理得(a-c)2=0,故a=c.又B=60,所以ABC是等边三角形.答案等

9、边三角形15.(2019北京牛栏山一中高三期中)如图是以C为圆心的一个圆,其中弦AB的长为2,则ACAB=.解析如图,作CDAB交AB于点D,则AC=AD+DC=12AB+DC,则ACAB=12AB+DCAB=12|AB|2=2.答案216.在ABC中,A=30,AB=23,4BC212,则ABC面积的范围是.解析因为在ABC中,A=30,AB=23,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos30=12+AC2-6AC,又因为4BC212,412+AC2-6AC12,解得0AC2,或4AC6,而SABC=12ABACsin30=32AC,所以0SABC3或23SABC33,故ABC

10、面积的范围是(0,323,33.答案(0,323,33四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.解(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为ka-b与a+2b共线,所以2(k-2)-(-1)5=0,解得k=-12.(2)因为A,B,C三点共线,a与b不共线,所以存在实数,使得AB=BC(R),即2a+3b=(a+mb),整理

11、得(8,3)=(+2m,m),所以+2m=8,m=3,解得m=32.18.(12分)已知O,A,B是平面上不共线的三点,直线AB上有一点C,满足2AC+CB=0,(1)用OA,OB表示OC;(2)若点D是OB的中点,证明四边形OCAD是梯形.(1)解因为2AC+CB=0,所以2(OC-OA)+(OB-OC)=0,2OC-2OA+OB-OC=0,所以OC=2OA-OB.(2)证明如图,DA=DO+OA=-12OB+OA=12(2OA-OB).故DA=12OC.即DAOC,且DAOC.故四边形OCAD为梯形.19.(12分)(2020山东高一月考)已知长方形AOCD中,OA=3,OC=2,E为OC

12、中点,P为AO上一点,利用向量知识判断当点P在什么位置时,PED=45.解如图,建立平面直角坐标系,则O(0,0),C(2,0),D(2,3),E(1,0).设P(0,y),则ED=(1,3),EP=(-1,y),所以|ED|=10,|EP|=y2+1,EDEP=3y-1.代入cos45=EDEP|ED|EP|,解得y=2y=-12舍去.所以当点P在靠近点A的AB的三等分处时,PED=45.20.(12分)在ABC中,AB=3,AC=1,A=60.(1)求sinACB;(2)若D为BC的中点,求AD的长度.解(1)因为在ABC中,AB=3,AC=1,A=60.所以由余弦定理可得BC=AB2+A

13、C2-2ABACcosA=32+12-23112=7,所以由正弦定理ABsinACB=BCsinA,可得sinACB=ABsinABC=3327=32114.(2)因为D为BC的中点,所以CD=12BC=72.又因为cosC=AC2+BC2-AB22ACBC=1+7-9217=-714,所以在ACD中,由余弦定理可得AD=AC2+CD2-2ACCDcosC=1+74-2172(-714)=132.21.(12分)为了测量两山顶M,N之间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离,请设计一个方案,包括:指出需

14、要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.解需要测量的数据有:A点到M,N点的俯角1,1;B点到M,N点的俯角2,2;A,B间的距离d(如图所示).第一步:计算AM.由正弦定理得AM=dsin2sin(1+2).第二步:计算AN.由正弦定理得AN=dsin2sin(2-1).第三步:计算MN.由余弦定理得MN=AM2+AN2-2AMANcos(1-1).22.(12分)(2019海南高二期末(理)如图,在ABC中,AB=2,AC=4,线段BC的垂直平分线交线段AC于点D,且DA-DB=1.(1)求BC的长;(2)求BCD的面积S.解(1)依题意得DB=DC,因为AC=DA+DC=4,DA-DC=1,所以DA=52,DC=DB=32.在ABD中,由余弦定理得cosA=AD2+AB2-BD22ADAB=45,在ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=365,所以BC=655.(2)由(1)知cosA=45,所以sinA=35,在ABC中,由正弦定理得ABsinC=BCsinA,即sinC=ABsinABC=55,所以S=12CDBCsinC=123265555=910.