2020-2021学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式测评练习（含解析）新人教A版选修4-5.docx

1、第三讲测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列不等式中一定成立的是()A.(ax+by)2(a2+b2)(x2+y2)B.|ax+by|C.(a2+b2)(x2+y2)(ay+bx)2D.(a2+b2)(x2+y2)(ab+xy)2解析由柯西不等式可知,只有C项正确.答案C2.设xy0,则的最小值为()A.-9B.9C.10D.0解析=9.答案B3.设a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1,c2,cn是b1,b2,bn的任一排列,则和S=a1bn+a2bn-1+anb1,T=a1c1+a2c2+ancn,K=a1b1+a2b2+an

2、bn的关系是()A.STKB.KTSC.TKSD.KST解析根据排序不等式知反序和乱序和顺序和,则STK.答案A4.若3x+2y+z=,则x2+y2+z2的最小值是()A.B.C.D.2解析由柯西不等式可得(32+22+12)(x2+y2+z2)(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)()2=7,于是x2+y2+z2,当且仅当=z,即x=,y=,z=时,等号成立,故x2+y2+z2的最小值是.答案A5.用柯西不等式求函数y=的最大值为()A.B.3C.4D.5解析由柯西不等式,得函数y=4,当且仅当时,等号成立,故函数y的最大值为4.故选C.答案C6.已知=1(ab0),设A=a2+b

3、2,B=(x+y)2,则A,B间的大小关系为()A.ABC.ABD.AB解析A=a2+b2=1(a2+b2)=(a2+b2)=(x+y)2=B,即AB,当且仅当时,等号成立.答案D7.已知a0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是()A.MNB.MNC.MND.MN.答案B8.已知x,y,z是正实数,且=1,则x+的最小值是()A.5B.6C.8D.9解析由柯西不等式可得x+=9,当且仅当x=3,y=6,z=9时,等号成立,故x+的最小值是9.答案D9.已知a,b是给定的正数,则的最小值为()A.2a2+b2B

4、.2abC.(2a+b)2D.4ab解析=(sin2+cos2)=(2a+b)2,当且仅当sin=cos时,等号成立.故的最小值为(2a+b)2.答案C10.已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,则的最小值为()A.1B.9C.36D.18解析由柯西不等式可得(x+2y+2y+3z+3z+x)(1+2+3)2,x+2y+3z=1,236,18,当且仅当x+2y=,即x=,y=0,z=时,的最小值为18.答案D11.在锐角三角形ABC中,设p=,q=acos C+bcos B+ccos A,则p,q的大小关系是()A.pqB.p=qC.pqD.无法确定解析不妨设ABC,则abc,cosAco

5、sBcosC.则由排序不等式可得q=acosC+bcosB+ccosAacosB+bcosC+ccosA,acosC+bcosB+ccosAacosC+bcosA+ccosB,由+得2(acosC+bcosB+ccosA)acosB+bcosA+bcosC+ccosB+ccosA+acosC,即2(acosC+bcosB+ccosA)2R(sinAcosB+cosAsinB)+2R(sinBcosC+cosBsinC)+2R(sinCcosA+cosCsinA),整理,得acosC+bcosB+ccosARsin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)=R(sinA+sinB+sinC)

6、=p.答案C12.导学号26394060设P为ABC内一点,D,E,F分别为P到BC,CA,AB所引垂线的垂足,如图.若ABC的周长为l,面积为S,则的最小值为()A.B.C.D.解析设AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,则a1b1+a2b2+a3b3=2S.(a3b3+a2b2+a1b1)=(a3+a2+a1)2=l2,当且仅当b1=b2=b3,即PE=PF=PD时,等号成立.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若=2,=3,则x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.解析由柯西不等式可得()()(x1y1+x2y2+x3y3)2,

7、即(x1y1+x2y2+x3y3)26,所以x1y1+x2y2+x3y3,故x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.答案14.若a,b,c0,则a+b+c.解析不妨设abc0,则abacbc0,0,则由排序不等式可得ab+ac+bc=a+b+c(当且仅当a=b=c时,等号成立).答案15.设正实数a1,a2,a100的任意一个排列为b1,b2,b100,则+的最小值为.解析不妨设0a1a2a100,则00,所以st.答案st三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知a0,b0,a+b=1,求证2.证明由柯西不等式可得()2=(1+1)2()2+()2(12+12),因

8、此()22(2a+2b+2)=8,故2当且仅当a=b=时,等号成立.18.(本小题满分12分)已知a,b,c都是非零实数,求证a2+b2+c2.证明由柯西不等式可得(b2+c2+a2)=(b2+c2+a2)=(a2+b2+c2)2,又因为a2+b2+c20,所以a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时,等号成立).19.(本小题满分12分)设x2+4y2=1,求u=2x+y的最值以及取得最值时,实数x,y的值.解u=2x+y=2x+2y.由柯西不等式可得x2+(2y)2,即(2x+y)21,所以u2,故-u,当且仅当4y=x,且x2+4y2=1时,等号成立,解得x=,y=.所以u的最大值是,此时

9、x=,y=;u的最小值是-,此时x=-,y=-.20.(本小题满分12分)设a,b,c(0,+),利用排序不等式证明a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.证明不妨设abc0,则lgalgblgc,由排序不等式可得alga+blgb+clgcblga+clgb+algc,alga+blgb+clgcclga+algb+blgc,以上两式相加可得2alga+2blgb+2clgc(b+c)lga+(a+c)lgb+(a+b)lgc,即lga2a+lgb2b+lgc2clgab+c+lgba+c+lgca+b,lg(a2ab2bc2c)lg(ab+cba+cca+b),故a2ab2bc2cab

10、+cbc+aca+b(当且仅当a=b=c时,等号成立).21.导学号26394061(本小题满分12分)已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;(2)求a2+b2+c2的最小值.解(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-axb时,等号成立.又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式,得(4+9+1)=(a+b+c)2=16,即a2+b2+c2.当且仅当

11、,即a=,b=,c=时等号成立.故a2+b2+c2的最小值为.22.导学号26394062(本小题满分12分)如图,等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在此三角形中任取点P,过P分别引三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时P的位置.解分别取OA,OB所在的直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.则AB的方程为x+y=1,记点P坐标为P(xP,yP),则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S=(1-xP-yP)2,所以2S=+(1-xP-yP)2.由柯西不等式,得+(1-xP-yP)2(12+12+12)(xP+yP+1-xP-yP)2,即6S1,所以S,当且仅当,即xP=yP=时,等号成立.故当xP=yP=时,面积和S最小,且最小值为,此时点P坐标为.