1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 第七节 棱柱与棱锥 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 考纲要求1.了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图2.了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图考试热点1.以客观题考查棱柱、棱锥的概念和性质2.以棱柱、棱锥为载体的解答题综合考查线面位置关系以及角、距离的求法.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1棱柱(1)定义 有两个面，其余各面的公共边的
2、多面体叫做棱柱，侧棱与底面的棱柱叫做直棱柱底面是的直棱柱叫正棱柱互相平行互相平行垂直正多边形Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)性质 棱柱的各侧棱，各侧面都是；长方体的对角线的平方等于(3)直棱柱的侧面积公式 S(4)棱柱的体积公式 V柱相等平行四边形由一个顶点出发的三条棱的长的平方和Ch，C是底面的周长，h是直棱柱的侧棱长Sh，其S是棱柱的底面积，h是棱柱的高Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2棱锥(1)定义 一个面是多边形，其余各面是 的多面体叫做棱锥底面是并且顶点在底面上的射影是的棱锥叫做正棱锥(2)性质 棱锥中与底面平行的截面与底
3、面，并且它们面积的比等于对应高的在正棱锥中，侧棱、高及侧棱在底面上的射影构成；斜高、高及构成直角三角形有一个公共顶点的三角形正多边形的中心平行平方比直角三角形斜高在底面内的射影正多边形Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 定理：如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (3)正棱锥的侧面积 S(4)棱锥的体积公式 VCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1侧棱长为2的正三棱锥，若高为1，则该正三棱锥的底面周长是()A6 B9
4、 C12 D18Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：如图1所示，由正三棱锥的性质知顶点A在底面的射影O为底面三角形BCD的中心，连结BO，设底面边长为a，则BO33 a，在RtAOB中，12a23 22，a3，所以底面周长为9.答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2正方形ABCD的边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图2)，M为矩形AEFD内一点，如果MBEMBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为()Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：过点M
5、作MMEF于M，则MM平面BCF.MBEMBC，BM为EBC的角平分线，EBM45，答案：ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3在矩形ABCD中，AB4，BC3，E为DC边上的中点，沿AE将ADE折起后，平面DAE平面BAE，则四棱锥DABCE的体积为()Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：过D作DF垂直AE，垂足为点F，由题意得DE2，则在ADE中有AE 2232 13，根据DEADAEDF得DF 2313 6 1313.折叠后平面DAE平面BAE，根据两个平面相互垂直的性质，
6、得DF平面ABCE，S梯形ABCE(24)329，所以四棱锥DABCE的体积为1396 1313 18 1313.答案：DCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4正四棱锥SABCD的底面边长为高为，则异面直线AB与SC所成角的大小是_Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：如图5所示，分别取SA、AD的中点E、F，O是底面中心，连结OE、OF、EF，OESC，OFAB，EOF(或其补角)为异面直线AB与SC所成的角，Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 SA SO2OA2(2)2(2)22，OF12AB1，OE12SC1，E
7、F12SD12SA1，OEF为等边三角形，EOF60即为所求答案：60Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，点E、F分别是棱AB、BC中点，EF与BD相交于G.如图6所示(1)求异面直线D1E和DC所成角的正切值；(2)求证：平面B1EF平面BDD1B1；(3)求点D1到平面B1EF的距离Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)连结AD1，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱A1A平面ABCD.平面ADD1A1平面ABCD.又ABAD.AB平面ADD1A1.ABAD1.Copy
8、right 2004-2009 版权所有 盗版必究 由已知AD2 2，DD14.AD1 AD2DD21(2 2)2422 6.而AE 2，tanAED1AD1AE 2 62 2 3.DCAB，D1E与DC所成的角就是D1E与AB所成的角，即D1EA.直线D1E与DC所成角的正切值为2 3.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)证明：连结AC，由已知，EFAC，ACBD.EFBD.又BB1EF，且BDBB1B，EF平面BDD1B1，EF平面EFB1，平面EFB1平面BDD1B1.(3)连结B1G，作D1HB1G，H为垂足，由于平面EFB1平面BDD1B1，B1G为交线
9、 D1H平面B1EF，D1H的长是点D1到平面EFB1的距离在RtD1B1H中，D1HD1B1sinD1B1H.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 D1B1 2A1B1 22 24，sinD1B1HsinB1GB 417，D1H 161716 1717.点D1到平面B1EF的距离为16 1717.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 棱柱、棱锥的概念与性质 例1 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()Copyright 2004
10、-2009 版权所有 盗版必究 A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 分析 过顶点作底面的垂线，找到线面角；利用四点共圆的条件判断A、C；找到球心判断D.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析 如图8所示，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不
11、一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)故仅命题B为假命题Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 答案B 拓展提升 解决这类问题需在理解棱柱、棱锥几何特征与性质的基础上，准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，高考中往往综合考查线面位置关系，需要有较强的空间想像能力当需要否定一个命题时，举一个反例即可作为选择题，利用四选一的特点，排除三个，可确定第四个为答案Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (1)设有四个命题：底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直
12、平行六面体 以上四个命题中，真命题的个数是()A1 B2 C3 D4Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)设命题甲：“直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCDA1B1C1D1是正方体”那么，甲是乙的()A充分必要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解析：(1)命题不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱是斜平行六面体命题不是真命题，若底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体命题也不是真命题，
13、因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是不能推出侧棱与底面垂直命题是真命题，由对角线相等，可得出平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平行六面体故选A.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)甲乙，因为直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，只要满足底面对角线ACBD，则平面ACB1面BB1D1D，但底面四边形ABCD不一定为正方形，所以甲成立时，乙不成立显然，乙甲 答案：(1)A(2)CCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 棱柱、棱锥的体积问题 例2 如图9所示，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是R
14、tABC，BAC是直角，且BC1AC，作C1H底面ABC，垂足为H.(1)试判断H点的位置，并说明理由；(2)若ABAC2，AC12 ，侧棱与底面成60的角，求三棱柱ABCA1B1C1的体积Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 分析(1)利用面面垂直的性质定理；(2)利用(1)的结论，找出线面角，然后考查基本运算 解(1)BAC为直角，CAAB，CABC1，CA平面C1AB，且CA平面CAB，平面C1AB平面CAB.在平面C1AB内作C1HAB.C1H平面CAB，又C1H平面CAB，H与H重合，H点在直线BA上Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2
15、)CA平面 ABC1，CAAC1.RtCAC1 中，AC12 7，AC2，CC1(2 7)2224 2.C1H底面 ABC，侧棱与底面成 60角，C1CH60，C1HCH.RtCHC1 中，C1HCC1sin604 2 32 2 6，SRtABCC1H12222 64 6.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 本题主要考查棱柱的性质及体积公式，应注意的是，利用面面垂直的性质找线面垂直是常用方法Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 如图10，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1ED
16、F的体积Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：解法1：连结A1C1、B1D1交于O1，过O1作O1HB1D于H，EFA1C1，A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离 平面B1D1D平面B1EDF，O1H平面B1EDF，即O1H为棱锥的高Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 B1O1HB1DD1，O1HB1O1DD1B1D 66 a.O1H1312EFB1DO1H1312 2a 3a 66 a16a3.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法 2：连结 EF，设 B1 到平面
17、 C1EF 的距离为 h1，D 到平面 C1EF 的距离为 h2，则 h1h2B1D1 2a，Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 棱柱、棱锥中的平行与垂直问题 例3 如图11，四棱锥SABCD的底面ABCD是直角梯形，已知SD垂直底面ABCD，且ADCBCD90，BCCD2AD.(1)求证：平面SBC平面SCD；(2)E为侧棱SB上的一点，为何值时，AE平面SCD，证明你的结论Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 分析(1)利用面面垂直的判定定理，(2)利用线面平 行的判定定理或面面平行的性质定理Copyright 2004-2009 版权所有 盗
18、版必究 解(1)证明：SD平面ABCD，SDBC.又BCCD，故BC平面SCD.BC平面SBC，故平面SBC平面SCD.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(2)SESB12时，AE平面SCD；解法1：取SB的中点E，BC的中点F，连结AF、EF，则AFCD，EFSC，故EF平面SCD，AF平面SCD，EFAFF，平面AEF平面SCD.而AE平面AEF，AE平面SCD.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解法2：取SB、SC的中点分别为E、G，连结EG、DG.则GEBC，GE12BC，又ADBC，AD12BC，故AD綊GE，于是四边形AEGD为平行
19、四边形故AEDG，又DG平面SCD，故AE平面SCD.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确把握如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊梯形的使用等，其次还要注意各种平行与垂直之间的相互转化，如将线线平行转化为线面平行或面面平行来解决Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC60，PAACa，PA平面ABCD，点E在PD上，且PEED21.(1)求二面角EACD的大小；(2)在棱PC上是
20、否存在一点F，使BF平面AEC？若存在，求出点F；若不存在，请说明理由Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：(1)作EMAD于M，PA平面ABCD，平面PAD平面ABCD，EM平面ABCD，作MNAC于N，连结NE，则NEAC，ENM即为二面角EACD的平面角，Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 EM13PA13a，AM23a，MNAMsin6023a 32 33 a，tanENMEMMN 33，ENM30，二面角EACD的大小为30.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2)取PC中点F，PE中点Q，连结FQ、BF、B
21、Q，设ACBDO，连OE，则OEBQ，QFCE，平面BQF平面ACE，BF平面ACE，在棱PC上存在点F，使BF平面AEC.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 棱柱、棱锥中角与距离的计算 例4 如图15，已知长方体ABCDA1B1C1D1，AB2，AA11，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点(1)求异面直线AE与BF所成的角的某一三角函数值；(2)求平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的某一三角函数值；(3)求点A到平面BDF的距离Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 分析 在长方体中，可以建立空间
22、直角坐标系，用向量法完成Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解(1)以AB、AD、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由条件有：A(0,0,0)，B(2,0,0)，F(1,0,1)AD平面AA1B1B，DBA30，Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 拓展提升 向量法是解立体几何问题的重要方法，特别是在正方体、长方体、直棱柱、直角棱锥等几何体中Copyright
23、2004-2009 版权所有 盗版必究 (2009江西九校模拟)如图17：平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD为直角三角形，PAD90，且AD2，又二面角PBCD的大小为45，E，F，G分别为PA，PD，CD的中点(1)求证：PB平面EFG；(2)求异面直线EG与BD所成的角；(3)在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为0.8，若存在，求出CQ的值；若不存在，说明理由Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：建立如图18空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2
24、,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1棱柱中的解答题，尤其是高考中的这类题，多是以棱柱为载体，考查线与面的位置关系和度量关系，和“直线与平面”中的这类题相比，内容更具体、更丰富，解答这类题时要把握以下几点：Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 即使是计算题(求空间角、空间距离、
25、面积体积等)，也要先证明有关图形的形状和线面位置关系，以及各元素的意义后再进行计算，否则逻辑上欠严谨，理论上依据不足；充分利用棱柱这个载体，从底面、侧面、棱和截面等诸方面去研究棱柱这个特殊环境中的线面关系；Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 注意掌握直棱柱、正棱柱的特殊线(如高、侧棱、对角线等)的性质，以及特殊底面(如正三角形、正方形、正六边形，直角梯形等)有关元素间的数量关系和计算；斜棱柱的体积除了可用公式VS底h来求外，还可用直截面求：斜棱柱的体积直截面的面积侧棱长另外，斜棱柱的侧面积也可用直截面来求：斜棱柱的侧面积直截面周长侧棱长Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，如图19所示中的VCO，CMO，VCM和VMO这四个直角三角形分别含有几个元素(侧棱、高、斜高、侧棱与斜高在底面内的射影，边心距以及底面边的一半)中的三个，如果知道两个就可求出另一个，这是解决正棱锥各种问题的基本出发点Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
