1、第一章 三 角 函 数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 1.角的概念的推广和分类(1)角的概念平面内一条射线绕着端点从一个位置_到另一个位置所成的图形.旋转(2)构成角的要素如下(3)角的分类正角：按_方向旋转形成的角；负角：按_方向旋转形成的角；零角：如果一条射线_作任何旋转，则称它形成了一个零角.逆时针顺时针没有2.象限角和终边相同的角(1)象限角前提：角的顶点与_重合，角的始边与_重合.结论：角的终边在第几象限，就说这个角是_.原点x轴的非负半轴第几象限角(2)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内,可构成一个集合：S=_.即：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数
2、个周角的和.如图所示：|=+k360,kZ1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点.()(2)相等的角终边一定相同，同样终边相同的角也一定相等.()(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的.()【解析】(1)错误.研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点，且角的始边与x轴的非负半轴重合.(2)错误.相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，如390角的终边与30角的终边相同，但这两个角不相等.(3)错误.不唯一，如终边落在y轴的非正半轴上的角的集合可以表示为=k36090,kZ，也可表示为|=270+k360，kZ.答案：
3、(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)将0角的终边顺时针旋转45后所得角是第_象限角.(2)将0角的终边顺时针旋转45后再逆时针旋转65后所得角是_角.(3)与-19角终边相同的角的集合可表示为_.【解析】(1)将0角的终边顺时针旋转45后所得角是-45角，为第四象限角.答案：四(2)将0角的终边顺时针旋转45后再逆时针旋转65后所得角为-45+65=20角.答案：20(3)与-19角终边相同的角的集合可表示为|=-19+k360，kZ.答案：|=-19+k360，kZ【要点探究】知识点1 角的概念的推广和分类对任意角概念的四点说明(1)角的三个要素：顶点、始边、终边角
4、可以是任意大小的(2)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广至任意角，包括任意大小的正角、负角以及零角(3)对角概念的理解关键是抓住“旋转”二字：要明确旋转方向；要明确旋转的大小；要明确射线未作任何旋转时的位置(4)角的范围不能局限于0360，而应扩充为任意角【知识拓展】轴线角(象限界角)角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，此时称其为轴线角或象限界角.【微思考】如果一个角的终边和始边重合，那么这个角一定是零角吗？提示：不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角；若角的终边作了旋转，则这个角不是零角【即时练】1.下列各角：
5、60，126，63，0，99，其中是正角的个数是()A.1 B.2 C3 D4【解析】选B.结合正角、负角和零角的概念可知，126，99是正角，60，63是负角，0是零角，故选B.2.30角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是_.【解析】由题意知，所得角为30-2(360)=-690.答案：-690 知识点2 象限角与终边相同的角1.各象限角的表示：第一象限：S=|k36090k360，kZ；第二象限：S=|90k360180+k360，kZ；第三象限：S=|180k360270+k360，kZ；第四象限：S=|270k360360+k360，kZ.2.对终边相同的
6、角的说明所有与角终边相同的角，连同角在内(而且只有这样的角)，可以用式子k360，kZ表示在运用时，需注意以下几点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉.(2)是任意角.(3)k360与之间用“”号连接，如k36030应看成k360(30)(kZ).(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍3.终边在坐标轴上的角的表示(1)终边落在x轴非负半轴上的角的集合为x|x=k360,kZ.(2)终边落在x轴非正半轴上的角的集合为x|x=k360+180,kZ.故角的终边落在x轴上的角的集合为x|x=k180,kZ.(3)终边落在y轴非负半轴上的角的集合
7、为x|x=k360+90,kZ.(4)终边落在y轴非正半轴上的角的集合为x|x=k360+270,kZ.故终边落在y轴上的角的集合为x|x=k180+90,kZ.由(1)(2)(3)(4)可知终边落在坐标轴上的角的集合为x|x=k90,kZ.【微思考】(1)第二象限角一定比第一象限角大吗？提示：不一定.象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.(2)终边相同的角的表达形式唯一吗？提示：一般地，终边相同的角的表达形式不唯一，可利用图形来验证，如90k180(kZ)与90k180(kZ)都表示终边在y轴上的角【即时练】1.(2014福州高一检测)与角-70终边相同的角是()A.70B.11
8、0C.250D.290【解析】选D.与角-70终边相同的角可表示为=k360-70,kZ,当k=1时，=290,故选D.2.(2014抚顺高一检测)-1 120角所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为-1 120=-3360-40,而-40为第四象限角，所以-1 120是第四象限角，故选D.【题型示范】类型一 任意角的概念问题【典例1】(1)(2014莆田高一检测)已知集合A第一象限角，B锐角，C小于90的角，则下面关系正确的是()A.ABC B.ACC.ACB DBCC(2)有下列说法：相差360整数倍的两个角，其终边不一定相同；|是锐角|090；
9、小于180的角是钝角、直角或锐角其中正确说法的序号是_【解题探究】1.题(1)中的第一象限角、锐角、小于90的角这三种角的主要区别是什么？2.题(2)中相差360整数倍的两个角的终边有什么关系？【探究提示】1.这三种角的取值范围不一样.2.相差360整数倍的两个角的终边重合.【自主解答】(1)选D.第一象限角可表示为k360 k36090，kZ；锐角可表示为090，小于90 的角可表示为90，由三者之间的关系可知，选D.(2)不正确，终边相同的两个角一定相差360的整数倍，反 之也成立；因为是锐角，即090，故|0 90|090，故正确；0角小于180，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故不正
10、确 答案：【方法技巧】判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可【变式训练】(2014淮北高一检测)下列说法正确的是()A.终边相同的角一定相等B.钝角一定是第二象限角C.第一象限角一定不是负角D.小于90的角都是锐角【解析】选B.终边相同的角可以相等，也可以差360的整数倍，故A错误；钝角即大于90且小于180的角，一定是第二象限角，故B正确；而第一象限角可以是负角，也可以是正角，故C错误；负角是小于90的角，但不是锐角，故D错误.【补偿训练】下列说法中正确的是()A.三角形的内角
11、必是第一、二象限角B第二象限角必是钝角C.不相等的角终边一定不相同D.若=+k360(kZ)，则和终边相同【解题指南】根据角的概念判断【解析】选D.90的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；-210的角是第二象限角，但它不是钝角；390角和30角不相等，但终边相同，故A，B，C均不正确.对于D，由终边相同的角的概念可知正确.类型二 象限角与终边相同的角的表示及应用【典例2】(1)若角为第四象限角，则90是()A.第一象限角B.第二象限角C第三象限角D.第四象限角(2)已知角是锐角，则2是()A.第一象限角B.第二象限角C.小于180的正角D.第一或第二象限角(3)已知315.把改写成
12、k360(kZ,0360)的形式，并指出它是第几象限角；求，使与终边相同，且1 080360.【解题探究】1.题(1)中角为第四象限角，应如何表示?2.题(2)中是锐角，则角如何用不等式表示?3.题(3)中为什么把一个角转化到0360之间就可以判定是第几象限的角？【探究提示】1.角是第四象限角，可表示为k360270k360360(kZ).2.锐角可表示为090.3.因为在0360之间的角与坐标中的射线是一一对应的.【自主解答】(1)选A.方法一：因为角为第四象限角，所以k360270k360360，kZ,所以k36036090k360450，kZ.可知90+在第一象限 方法二：(特值法)由角
13、为第四象限角，可取300，故90390，可知其在第一象限(2)选C.因为是锐角，所以090,所以02180,故选C.(3)因为31536045.又045360,所以把写成k360(kZ,0360)的形式为 36045(45)它是第一象限角 与315终边相同的角为k36045(kZ)，所以当k3，2时，1 035，675满足 1 080360.即得所求角为1 035和675.【延伸探究】在题(3)中，若2 010，其他不变，则结果又如何呢？【解析】因为2 0106360150,0150360，所以把2 010写成k360(kZ,0360)的形式为6360150(=150)，它是第二象限角 与2
14、010终边相同的角为k360150(kZ)，所以当k3，2时，930，570满足 1 080360，即得所求角为930和570.【方法技巧】1.象限角的两种判定方法 一是根据角的范围，在直角坐标系内讨论.二是结合条件及选项取特殊值验证 2.,2,等角的终边位置的确定方法(1)不等式法 一般首先利用象限角的概念或已知条件，写出角的范围，然后利用不等式的性 质，求出2，等角的范围，最后利 用“旋转”的观点，确定角终边的位置.例如，如果得到k120 k120+30，kZ，可画 出0 30所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺 时针转动120(如图所示).2233(2)几何法(或等分象限法)若已知所在
15、的象限，确定 所在的 象限，可先将各个象限n等分，从第一 象限离x轴最近的区域开始逆时针方向 依次循环标注号1,2,3,4,直到将所有区 域标完为止.如果在第几象限，则 在图中标号为几的区 域内.例如,已知为第四象限角，则 终边所在的位置为下图标 4的区域内.nn3【变式训练】在0到360之间找出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是第几象限角(1)640.(2)2345.【解析】(1)因为640280360，所以在0到360之间与640角终边相同的角是280角 又因为280是第四象限角，所以640是第四象限角(2)234512555360,所以与2345角终边相同的角是12555.所以-2
16、345是第二象限角【补偿训练】设角与的终边互相垂直，且是第二象限角，则是()A第一象限角B.第三象限角C第一或第三象限角D.第一或第四象限角【解析】选C.的终边在第二象限时，的终边有两个位置，即第一或第三象限故选C.【易错误区】对象限角判断时因考虑不全而致误【典例】若是第三象限的角，则 是()A.第一象限的角B.第三象限的角C.第四象限的角D.第一象限或第三象限或第四象限的角3【解析】选D.因为是第三象限的角，所以k360180k360270(kZ)，则k12060 k12090(kZ)，取k0，得到 在第一象限；取k1，得到 在第三象限；取k2，得到 在第四象限故选D.3333【常见误区】错
17、解 错因剖析 选A 求解时看到阴影处是第三象限的角便取 210，得到 70而选择答案A，犯了以偏 概全的错误 3【防范措施】由角所在的象限判断 (nN*)所在象限 应把角写成k360k360(kZ)的形 式，再求出 分别取k0,1,2，n1，即可确定 所在的象限这里准确表示出各象 限角是解题关键，如本例易犯以偏概全的错误.n360360kkkZnnnnn，n【类题试解】若已知为第二象限角，则 是第象限角.【解析】因为是第二象限角，所以90k360180k360,kZ,所以45 360 90 360，kZ.当k为偶数时，不妨令k2n，nZ，则45n360 90n360，此时，为第一象限角；k22k2222当k为奇数时，令k2n1，nZ，则225n360 270n360，此时，为第三象限角 所以 为第一或第三象限角 答案：一或第三222