1、第4讲 导数的热点问题 专题二 函数与导数 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验(2014课标全国)设函数 f(x)aexln xbex1x，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 ye(x1)2.(1)求a，b；解 函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xaxexbx2ex1bxex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明：f(x)1.证明 由(1)知，f(x)exln x2xex1，从而 f(x)1 等价于 xln xxex2e.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当 x(0，1e)时，g(x)0.故
2、 g(x)在(0，1e)上单调递减，在(1e，)上单调递增，从而 g(x)在(0，)上的最小值为 g(1e)1e.设函数 h(x)xex2e，则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.考情考向分析 利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.热点一 利用导数证明不等式热点分类突破 用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力 例1 已知函数f(x)ln xx3.(1)求函数f(x)的单调区间；解 f(x)
3、x1x(x0)解f(x)0得x(1，)；解f(x)0；证明 f(x)ln xx3，所以f(1)2，由(1)知f(x)ln xx3在(1，)上单调递增，所以当x(1，)时，f(x)f(1)即f(x)2，所以f(x)20.(3)求证：ln 22 ln 33 ln 44 ln nn f(1)，即ln xx10，0ln xx1对一切x(1，)成立 n2，nN*，则有0ln nn1，0ln nn n1n.ln 22 ln 33 ln 44 ln nn 122334n1n 1n(n2，nN*)思维升华 用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(
4、b)，对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2)对于减函数有类似结论(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，则f(x)M(或f(x)m)(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)1 时，f(x)kx1 时，f(x)kx0 恒成立，即 ln xx2kx0，等价于 k1时，h(x)0，函数h(x)在(1，)上单调递增，故h(x)h(1)0.从而，当x1时，g(x)0，即函数g(x)在(1，)上单调递增，故 g(x)g(1)12.因此，当 x1 时，k0 得 x12，由 f(x)12.所以 f(x)的单调递增区间为，1
5、2，递减区间为12，.所以 f(x)maxf12 12ec.(2)讨论关于x的方程|ln x|f(x)根的个数 解 由已知|ln x|f(x)得|ln x|xe2xc，x(0，)，令 g(x)|ln x|xe2x，yc.当 x(1，)时，ln x0，则 g(x)ln x xe2x.所以 g(x)1x2x1e2x 0.所以g(x)在(1，)上单调递增 当 x(0,1)时，ln x1x0，所以e2xx 1，而 2x11.所以g(x)0，即g(x)在(0,1)上单调递减 由可知,当 x(0，)时,g(x)g(1)1e2.由数形结合知，当 c1e2时，方程|ln x|f(x)根的个数为 2.思维升华(
6、1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题(2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势 跟踪演练2 已知函数f(x)ln xax(aR)若函数f(x)无零点，求实数a的取值范围解 函数f(x)无零点方程ln xax，即ln xx a 在(0，)上无实数解令 g(x)ln xx，则 g(x)1ln xx2，由g(x)0，得xe.在区间(0，e)上，g(x)0，函数g(x)单调递增；在区间(e，)上，g(x)1e，即所求实数 a 的取值范围为(1e，)热点三 利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决
7、生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优 例3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；解 因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元 所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元 又根据题意得20
8、0rh160r212 000，所以 h 15r(3004r2)，从而 V(r)r2h5(300r4r3)因为 r0，又由 h0 可得 r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大 思维升华 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数
9、值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)作答：回归实际问题作答 跟踪演练 3 将边长为 1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 s梯形的周长2梯形的面积，则 s 的最小值是_解析 设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为x m，则梯形的周长为 x(1x)(1x)13x，梯形的面积为 34 34 x2，s3x234 1x24 33 x26x91x2(0 x1)，对 s 求导得 s4 33 23x210 x31x22.令 s0，得 x13或 x3(舍去)当 x(0，13)时，s0.smins(13)32 33.答案 32 33高考押题精练 已知 f(x)axln
10、 x，x(0，e，g(x)ln xx，其中 e 是自然常数，aR.(1)讨论a1时，函数f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x)12；(3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由 押题依据 函数的单调性、极值、最值是导数的典型应用，不等式证明体现了转化与化归的思想，是高考的必考点(1)解 f(x)xln x，f(x)11xx1x，当0 x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当10时，此时f(x)单调递增 f(x)的极小值为f(1)1.(2)证明 f(x)的极小值为1，f(x)在(0，e上的最小值为1，即f(x)min1.又 g(x)1ln xx2，当0 x0，g(x)在(0，e上单调递增 g(x)maxg(e)1e12，在(1)的条件下，f(x)g(x)12.(3)解 假设存在正实数a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3，则 f(x)a1xax1x.当 01ae 时，f(x)在(0，1a)上单调递减，在(1a，e上单调递增，f(x)minf(1a)1ln a3，ae2，满足条件；当1ae 时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a4e(舍去)，所以，此时f(x)无最小值 综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时f(x)有最小值3.