1、预习课本P3739，思考并完成以下问题第二课时 平面与平面垂直的判定(1)二面角的概念是什么？如何求二面角的平面角？(2)平面与平面垂直的概念及判定定理的内容是什么？一、预习教材问题导入1二面角及其平面角(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成，其中的都叫做半平面(2)二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角，叫作二面角的棱，这叫做二面角的面(3)二面角的记法：以直线AB为棱，半平面，为面的二面角，记作：二面角面-AB-.两部分每一部分两个半平面这条直线两个半平面二、归纳总结核心必记(4)二面角的平面角：以二面角的棱上为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线 OA，OB，则这两
2、条射线所成的角AOB叫作二面角的平面角(5)直二面角：的二面角叫作直二面角(6)二面角 的取值范围为.任一点O点睛(1)当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小为0；(2)二面角的大小为90时，两个平面互相垂直(3)当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小为180.垂直于棱l平面角是直角01802两个平面互相垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直3两个平面互相垂直的判定定理(1)文字语言：如果一个平面经过另一个平面的，则这两个平面垂直(2)图形语言：如图所示(3)符合语言：a.直二面角垂线a 点睛 对面面垂直的判定定理的理解(1)该定理可简记为“线面
3、垂直，则面面垂直”(2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直线面垂直面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若l，则过l有无数个平面与垂直()(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90.()(3)若，a，b，则ab.()三、基本技能素养培优2在二面角-l-的棱l上任选一点O，若AOB是二面角-l-的平面角，则必须具有的条件是()AAOBO，AO，BO BAOl，BOlCABl，AO，BO DAOl，BOl，且答案：D3如图
4、，在正方体ABCD-ABCD中，二面角D-AB-D的大小为_答案：45 典例 如图所示，在四面体 ABCS 中，已知BSC90，BSACSA60，又 SASBSC.求证：平面 ABC平面 SBC.考点一 直线与平面垂直关系的判断证明 法一 利用定义证明因为BSACSA60，SASBSC，所以ASB和ASC是等边三角形，则有SASBSCABAC，设其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形 取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则ADBC，SDBC，所以ADS为二面角A-BC-S的平面角在RtBSC中，因为SBSCa，所以SD 22 a，BDBC2 22 a.在RtABD中，AD 2
5、2 a，在ADS中，因为SD2AD2SA2，所以ADS90，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC平面SBC.法二 利用判定定理证明因为SASBSC，且证明BSACSA60，所以SAABAC，所以点A在平面SBC上的射影为SBC的外心因为SBC为直角三角形，所以点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD平面SBC.又因为AD 平面ABC，所以平面ABC平面SBC.(1)证明平面与平面垂直的方法：利用定义：证明二面角的平面角为直角；利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的
6、平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直类题通法针对训练如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC60，PDC90，E 为棱 AP 的中点，且 ADCE.求证：平面 PAD平面 ABCD.证明：取 AD 的中点 O，连接 OE，OC，CA.ABC60，ACD 为等边三角形，ADOC.又 ADCE，OCCEC，OC 平面 COE，CE 平面 COE，AD平面 COE.OE 平面 COE，ADOE.又 OEPD，ADPD.PDC90，PDDC.ADD
7、CD，AD 平面 ABCD，DC 平面 ABCD，PD平面 ABCD，又 PD 平面 PAD，平面 PAD平面 ABCD.典例 如图，三棱锥 V-ABC 中，VAVBACBC2，AB2 3，VC1，试画出二面角 V-AB-C 的平面角，并求它的大小考点二 二面角的求法解 如图，取 AB 的中点 D，连 VD，CD.VAVBACBC，VDAB，CDAB.VDC 就是二面角 V-AB-C 的平面角在VAB 中，VAVB2，AB2 3，VD1.同理 CD1.又 VC1，VCD 为等边三角形VDC60.即二面角 V-AB-C 的平面角的大小是 60.求二面角的三种方法(1)定义法：在二面角的棱上找一点
8、，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法 类题通法针对训练如图，已知 RtABC，斜边 BC，点 A，AO，O 为垂足，ABO30，ACO45，求二面角 A-BC-O 的大小解：如图，在平面内，过O作ODBC，垂足为点D，连接AD，设COa.AO，BC，AOBC.又AOODO，BC平面AOD.而AD 平面AOD，ADBC，ADO是二面角A-BC-O的平面角由AO，OB，OC，知AOOB，
9、AOOC.ABO30，ACO45，COa，AOa，AC 2a，AB2a.在RtABC中，BAC90，BC AC2AB2 6a，ADABACBC 2a 2a6a 2 33 a.在RtAOD中，sinADOAOADa2 33 a 32.ADO60，即二面角A-BC-O的大小是60.考点三 线面、面面垂直的综合问题典例 如图，PAO 所在的平面，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，AEPB 于 E，AFPC 于 F，求证：(1)平面 AEF平面 PBC；(2)PBEF.证明(1)AB是O的直径，C在圆上，ACBC.又PA平面ABC，BC 平面ABC，PABC.又ACPAA，BC平面PAC.又AF
10、平面PAC，BCAF.又AFPC，PCBCC，AF平面PBC.又AF 平面AEF，平面AEF平面PBC.(2)由(1)知AF平面PBC，AFPB.又AEPB，AEAFA，PB平面AEF.又EF 平面AEF，PBEF.线线、线面、面面垂直的相互转化解决线线、线面、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化的关系，即线线垂直线面垂直面面垂直 类题通法针对训练如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面是边长为 a 的正方形，侧棱 PDa，PAPC 2a，求证：(1)PD平面 ABCD；(2)平面 PAC平面 PBD.证明：(1)PDa，DCa，PC 2a，PC2PD2DC2.则PDDC.同理可证PDAD.又ADDCD，且AD，DC 平面ABCD，PD平面ABCD.(2)由(1)知PD平面ABCD，又AC 平面ABCD，PDAC.四边形ABCD是正方形，ACBD.又BDPDD，且PD，BD 平面PBD，AC平面PBD.又AC 平面PAC，平面PAC平面PBD.“多练悟素养提升”见“课时跟踪检测(九)”(单击进入电子文档)