1、第一章 空间几何体 章末复习与总结1几何体的表面积和体积几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题等，都涉及表面积和体积的计算【例 1】如图所示，半径为 R 的半圆 O 的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且分别切 AB，BC，CD 于点 A，E，D，将半圆 O 与直角梯形 ABCD 分别绕 AD 所在直线旋转一周，得到一个球和一个圆台，且球的表面积与圆台的侧面积之比为 34，求圆台的体积解 设圆台的上、下底面半径分别为 r1，r2，母线长为 l，则根据题意，得圆台的高 AD2R，DCCEr1，ABBEr2，OER，BOC90，O
2、EBC，所以 r1r2R2，lr1r2.又因为 S 球4R2，S 圆台侧(r1r2)l，且 S 球S 圆台侧34，所以 4R2l(r1r2)34，所以(r1r2)2163 R2，所以 V 台13h(r21r22r1r2)32R(r1r2)2r1r232R163 R2R2 269 R3.故圆台的体积为269 R3.此类问题要注意轴截面的特殊作用，特别是在特殊的柱体、锥体、台体，在计算中要重视其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用；对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在的轴截面、底面圆的作用.|方法总结|2.割补法和等积法在求体积中的应用体积的求解与计算是立体几何学习的重点，其方法灵活多
3、样，割补法和等积法是常用的技巧方法【例 2】如图所示，已知三棱柱 ABCABC，侧面 BBCC的面积是S，点 A到侧面 BBCC的距离是 a，求证：三棱柱 ABCABC的体积 V12Sa.证明 证法一(分割法)：如图所示，连接 AB，AC，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥设三棱柱体积为 V，显然三棱锥 AABC 的体积是13V，而四棱锥 ABCCB的体积为13Sa，故有13V13SaV，即 V12Sa.证法二(补全法)：如图所示，将三棱柱 ABCABC补成一个四棱柱 ABCDABCD.其中 ADBC，ABDC.即四边形 ABCD 为一个平行四边形显然三棱柱 ACDACD的体积与原三棱柱 ABCA
4、BC的体积相等以 BCCB为底面，点 A到面 BCCB的距离为高，显然补形后的四棱柱的体积为 Sa.故原三棱柱 ABCABC的体积 V12Sa.(1)将不规则的几何体通过分割或补形，将其转化为规则几何体的体积问题(割补法)(2)三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此可以通过选择合适的底面，将其转化为底面积和高容易求的三棱锥的体积问题(等积法).|方法总结|本章主要用到的数学思想方法有转化思想与函数与方程思想1转化思想【例 3】如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的点 B处的食物当圆柱的高等于 12 cm，底面半径为3 cm 时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路
5、程是()A12 cm B.15 cmC.14492 cm D18 cm解析 如图所示，在圆柱的侧面展开图中，BC 的长为底面圆周长的一半，即 BC12233，蚂蚁所走路程为|AB|12232 14492(cm)所以蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是 14492 cm.答案 C转化思想其实质就是化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉、化整为零，从而达到解决问题的目的转化思想在本章中也有较多应用，主要体现在以下几个方面：一是立体问题平面化，如旋转体中轴截面的应用，侧面展开图的应用；二是等积变换，如三棱锥变换顶点；三是割补法的应用，把不规则的几何体通过割补转化为规则的几何体.|方法总结|2.函数与方程思想【例
6、 4】一个圆锥底面半径为 R，高为 3R 求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值解 画出该组合体的轴截面，利用相似三角形的知识建立等量关系，借助函数的知识求其最值如图所示，SAB 为圆锥的一个轴截面，且该轴截面经过正四棱柱的对角面，DF 为棱柱的底面对角线设正四棱柱的高为 h，底面正方形边长为 a，则 DE 22 a.SDESAO，DEAOSESO.AOR，SO 3 R，22 aR 3Rh3R，h 3R 62 a，S 表2a24ah2a24a3R 62 a.整理得 S 表(22 6)a3R612 6R261(0a 2R)22 60，3R61 2R，当 a3R61时，S 表有最大值，为 6R261.
7、即圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值为 6R261，即6 615R2.函数与方程思想是指将抽象的数学问题转化为函数的性质或解方程(组)等问题解决，在立体几何中求几何体的高、棱长、侧面积、体积等往往利用这一思想方法.|方法总结|易错点 1 柱、锥、台结构特征判断中的误区【例 5】如图所示，几何体的正确说法的序号为_(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到解析(1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；(3)正确，如果把几何体放倒就会发
8、现是一个四棱柱；(4)(5)都正确，如图所示1解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理2解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断易错点拨 易错点 2 画几何体的三视图常见误区【例 6】某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是()解析 该几何体是由圆柱切割而得，由俯视图可知正视方向和侧视方向，进一步可画出正视图和侧视图(如图所示)，故选 A.答案 A1易忽视组合体的结构特征是由圆柱切割而得到和正视方向与侧视方向的判断而出错2三种视图中，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线画
9、三视图时，一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误易错点拨 易错点 3 解答平面图形直观图还原问题的易错点【例 7】一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形 OABC的面积为 2，则原梯形的面积为()A2 B.2C2 2D4解析 如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高原梯形的高 OC 是直观图中 OC长度的 2 倍，OC的长度是直观图中梯形的高的 2倍，由此知原梯形的高 OC 的长度是直观图中梯形高的 2 2倍，故其面积是梯形 OABC面积的 2 2倍，梯形 OABC的面积为 2，所以原梯形的面积是 4.答案 D易错点拨
10、1原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样，但高的长度不一样原梯形的高 OC 是直观图中 OC的长度的 2 倍，OC长度是直观图中梯形的高的 2倍，此处易出错2解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化，直观图面积 S与原图形面积 S 满足 S 24 S.易错点 4 求几何体表面积、体积考虑不周致误【例 8】把长、宽分别为 4、2 的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积解 设圆柱的底面半径为 r，母线长为 l，高为 h.当 2r4，l2 时，r2，hl2，所以 V 圆柱r2h8.当 2r2，l4 时，r1，hl4，所以 V 圆柱r2h4.综上所述，这个圆柱的体积为8或4.把矩形卷成圆柱时，可以以4为底，2为高；也可以以2为底，4为高容易漏掉一种情况，解决此类问题一定要考虑全面易错点拨