1、预习课本P4850，思考并完成以下问题73 球(1)什么叫作球的大圆？什么叫作球的小圆？(2)球的表面积公式和体积公式是什么？一、预习教材问题导入1球的截面用一个平面去截半径为R的球O的球面得到的是有以下性质：(1)若平面过球心O，则截线是以为圆心的球的大圆(2)若平面不过球心O，如图，设OO，垂足为O，记OOd，对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OOOP，则有OPR2d2，即此时截线是以为圆心，以r R2d2为半径的球的小圆圆OO二、归纳总结核心必记2球的切线(1)定义：与球只有公共点的直线叫做球的切线如图，l为球O的切线，M为切点(2)性质：球的切线垂直于过切点的半径；过球外一点的所
2、有切线的长度都唯一相等3球的表面积与体积公式前提条件球的半径为R表面积公式S体积公式V 4R243R31判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)决定球的表面积与体积的关键量是球的半径()(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径()(3)球的表面积和体积与半径之间存在函数关系()三、基本技能素养培优2过球面上两点可能作出的球的大圆有_个3两个球的半径之比为12，则这两个球的表面积之比为_4半径为R的球的表面积与体积的比是_答案：一或无数答案：14答案：3R典例 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何
3、体的表面积为1620，则r()A1 B2C4 D8考点一 球的体积与表面积的计算解析 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积 S124r2r24r2r2r(54)r2.又 S1620，(54)r21620，r24，r2，故选 B.答案 B求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，
4、并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆 类题通法针对训练1某器物的三视图如图，根据图中数据可知该器物的体积是()A.43B.153C.43 153D.43 153解析：选D 由三视图可知，此几何体上部是直径为2的球，下部是底面直径为2，高为 15的圆锥，所以V43131312 1543 153.2若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比解：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球的半径为 R，则由题意得13r2h43R3，r2R，13(2R)2h43
5、R3，Rh，r2h，lr2h25h，S 圆锥侧rl2h 5h2 5h2，S 球4R24h2，S圆锥侧S球 2 5h24h2 52.典例 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A.5003 cm3 B.8663 cm3C.1 3723cm3D.2 0483 cm3考点二 球的截面问题解析 如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)，BM12AB1284(cm)设球的半径为R cm，则R2OM 2MB2(R2)242，R5.V球43535003(cm3)答案 A球
6、的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2d2r2.类题通法针对训练一平面截一球得到直径为 2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 2 cm，则该球的体积是()A12 cm3B36 cm3C64 6 cm3D108 cm3解析：选B 设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示在RtOO1A中，O1A 5 cm，OO12 cm，球的半径ROA22 523(cm)，球的体积V433336(cm3).考点三 与球有关的组合问题
7、典例 轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为 1 cm，求球的体积 解 如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边 BC、AC 相切于点 D、E.连接 AD，OE，ABC 是正三角形，CD12AC.CD1 cm，AC2 cm，AD 3 cm，RtAOERtACD，OEAOCDAC.设 OEr，则 AO(3r)，r3r12，r 33 cm，V 球43(33)34 327(cm3)，即球的体积等于4 327 cm3.(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r1a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)(2)长方体的外接球长方体的八个顶点
8、都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为 r212a2b2c2，如图(2)(3)正四面体的外接球正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R 62 a.类题通法针对训练 1(球的外切正方体问题)将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.43 B.23C.32D.6解析：选A 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是431343.2(球的内接直棱柱问题)已知直
9、三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的表面积为()A153 B160C169 D360解析：选 C 由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角线就是外接球的直径，所以球O 的半径 R12 3242122132，所以球 O 的表面积 S41322169，故选 C.3(球的内接长方体问题)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为_解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R122232 14，所以球的表面积S4R214.答案：144(球的内接正四面体问题)若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a 2x，由题意2R 3x 3 2a2 62 a，S球4R264a32a.“多练悟素养提升”见“课时跟踪检测(十三)”(单击进入电子文档)