1、预习课本P4648，思考并完成以下问题72 柱、锥、台的体积(1)柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？(2)由柱体的体积公式能得到锥体的体积公式吗？由锥体的体积公式能得到台体的体积公式吗？一、预习教材问题导入柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱、棱柱V 柱体Sh S 为柱体底面积，h 为柱体的高锥体圆锥、棱锥V 锥体13ShS 为锥体底面积，h 为锥体的高台体圆台、棱台V 台体13(S 上S 下 S上S下)hS 上、S 下为台体的上、下底面面积，h 为高二、归纳总结核心必记点睛 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：(其中 S，S 表示台体上、下底面面积)1判断下列命题是否正确(正确
2、的打“”，错误的打“”)(1)三棱锥的体积可以用任意一个面和对应高求()(2)锥体的体积是柱体体积的13.()(3)圆台的体积可由两圆锥的体积差得出()三、基本技能素养培优2圆柱的底面积是S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是_3已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为_答案：2S S答案：28 34若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为_答案：4典例(1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A18 B17C16D15考点一 多面体的体积(2)已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2 c
3、m2，2 3 cm2，侧棱长为 2 cm，则其体积为_ cm3.(3)一个正三棱锥底面边长为 6，侧棱长为 15，这个三棱锥的体积为_解析(1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥A1-AB1D1.设正方体的棱长为a，则VA1-AB1D11312a316a3，故剩余几何体的体积为a316a356a3，所以比值为15，故选D.(2)如图所示，设底面菱形的对角线 AC，BD 长分别为 xcm，y cm，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，故有2x2，2y2 3，解得x1，y 3，底面菱形的面积 S12xy 32(cm2)，所以该棱柱的体积为 VSh 32 2 3(cm3)(
4、3)如图所示，正三棱锥 S-ABC.设 H 为正三角形 ABC 的中心，连接 SH，则 SH的长即为该正三棱锥的高连接 AH 并延长交 BC于 E，则 E 为 BC 的中点，且 AHBC.因为 ABC是边长为 6 的正三角形，所以 AE 32 63 3.则 AH23AE2 3.在 ABC 中，S ABC12BCAE1263 39 3.在 Rt SHA 中，SA 15，AH2 3，所以 SH SA2AH2 1512 3.所以 V 正三棱锥13S ABCSH139 3 39.答案(1)D(2)3 (3)9求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解(2)等积法：如四面体的任何
5、一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积 类题通法针对训练(2019北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_解析：如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4，去掉四棱柱 MQD1A1-NPC1B1(其底面是一个上底为 2，下底为 4，高为 2 的直角梯形)所得的几何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为 4312(24)2440.答案：40
6、典例(1)体积为 52 cm3 的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的 9 倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为()A54 cm3B54 cm3C58 cm3D58 cm3(2)把由曲线 y|x|和 y2 围成的图形绕 x 轴旋转 360，所得旋转体的体积为_考点二旋转体的体积解析(1)由底面积之比为 19 知，体积之比为 127，截得小圆锥与圆台体积比为 126，所以小圆锥体积为 2 cm3，故原来圆锥的体积为 54 cm3.(2)由题意，y|x|和 y2 围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个共顶点的圆锥V 圆柱22416，2V 圆锥213222163，所求几何体的体积为 1616
7、3 323.答案(1)A(2)323有关旋转体体积计算的技巧要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键类题通法针对训练设圆台的高为 3，在轴截面中母线 AA1 与底面圆直径 AB 的夹角为60，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积解：作圆台的轴截面 A1ABB1，设上、下底面半径分别为 r，R，作 A1DAB 于点 D，
8、连接 A1B，A1D3，A1AB60，又BA1A90，BA1D60，ADA1Dcot 60 3，Rr 3.BDA1Dtan 60 3 3，Rr3 3.R2 3，r 3，而 h3，V 圆台13h(R2Rrr2)133(2 3)22 3 3(3)221.圆台的体积为 21.典例(1)如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 A-DED1 的体积为_考点三 几何体体积的求法解析：V三棱锥A-DED1V三棱锥E-DD1A131211116.答案：16解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则x2y213，
9、y2z220，x2z225，x3，y2，z4.VD-ABE13DESABE16V长方体，同理，VC-ABFVD-ACGVD-BCH16V长方体，V四面体ABCDV长方体416V长方体13V长方体而V长方体23424，V四面体ABCD8.（2）已知四面体 ABCD 中，ABCD 13，BCAD2 5，BDAC5，求四面体 ABCD 的体积(1)三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积转移法(或称等积法)(2)当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积 类题通法针对训练 1
10、.(等积变换法)如图所示，三棱锥的顶点为 P，PA，PB，PC为三条侧棱，且 PA，PB，PC 两两互相垂直，又 PA2，PB3，PC4，求三棱锥 P-ABC 的体积 V.解：三棱锥的体积 V13Sh，其中 S 为底面积，h 为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把 B 看作顶点，PAC 作为底面求解故 V13SPACPB13122434.2.(补形法)如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，求该几何体的体积解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为10.3.(分割法)如图，在多面体 ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边 长为 4 的正方形，EFAB，EF2，EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体的体积解：如图，连接 EB，EC.四棱锥 E-ABCD 的体积 V 四棱锥 E-ABCD1342316.AB2EF，EFAB，SEAB2SBEF.V 三棱锥 F-EBCV 三棱锥 C-EFB12V 三棱锥 C-ABE12V 三棱锥 E-ABC1212V 四棱锥 E-ABCD4.多面体的体积 VV 四棱锥 E-ABCDV 三棱锥 F-EBC16420.“多练悟素养提升”见“课时跟踪检测(十二)”(单击进入电子文档)