1、高三总复习人教A 版 数学（理）第十节函数模型及其应用高三总复习人教A 版 数学（理）1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用高三总复习人教A 版 数学（理）1三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与y轴平行随x增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而不同高三总复习人教A 版 数学（理）2.函数yax(a1
2、)，ylogax(a1)和yxn(n0)的增长速度比较(1)指数函数yax和幂函数yxn(n0)在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于yax的增长速度yxn的增长速度，因此总存在一个x0，当xx0时，有.快于axxn高三总复习人教A 版 数学（理）(2)对于对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)在区间(0，)上，尽管在x的一定范围内可能会有logaxxn，但由ylogax的增长速度慢于yxn的增长速度，因此在(0，)上总存在一个实数x0使xx0时，有.(3)yax(a1)，ylogax(a1)与yxn(n0)尽管都是增函数，但由于它们不同，而
3、且不在同一个“档次上”，因此在(0，)上随x的增大，总会存在一个x0，当xx0时，有.logaxxnlogax高三总复习人教A 版 数学（理）1某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为()Ay0.2x(0 x4000)By0.5x(0 x4000)Cy0.1x1200(0 x4000)Dy0.1x1200(0 x4000)高三总复习人教A 版 数学（理）解析：当天共存4000辆次，普通自行车x辆，电动自行车4000 x辆，收入y0.2x(4000 x)0.3，即
4、y0.1x1200(0 x4000)答案：C高三总复习人教A 版 数学（理）2某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如右图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如右图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()Ax15，y12 Bx12，y15Cx14，y10Dx10，y14高三总复习人教A 版 数学（理）解析：由三角形相似得24y248 x20，得 x54(24y)，Sxy54(y12)2180.当 y12 时，S 有最大值，此时 x15.答案：A高三总复习人教A 版 数学（理）3已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元某食品加工厂对饼干采用两种
5、包装，其包装费用、销售价格如下表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元高三总复习人教A 版 数学（理）则下列说法中正确的是()买小包装实惠买大包装实惠卖3小包比卖1大包盈利多卖1大包比卖3小包盈利多ABCD高三总复习人教A 版 数学（理）解析：买小包装时每克费用为 3100元，买大包装时每克费用为8.43002.8100(元)，而 31002.8100，所以买大包装实惠，卖 3 小包的利润为 3(31.80.5)2.1(元)，卖 1 大包的利润是 8.41.830.72.3(元)而 2.32.1，卖 1 大包盈利多，故选 D.答案：D高三总复
6、习人教A 版 数学（理）4一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过_小时，才能开车？(精确到1小时)高三总复习人教A 版 数学（理）解析：设 x 小时后，血液中的酒精含量不超过 0.09 mg/mL，则有 0.3(34)x0.09，即(34)x0.3.估算或取对数计算，得 5 小时后，可以开车答案：5高三总复习人教A 版 数学（理）热点之一 一次函数、二次函数模型的应用1在实际问
7、题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)；2有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错高三总复习人教A 版 数学（理）例 1 西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得利润 P 1160(x40)2100 万元当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入 60 万元的销售投资，在未来
8、 10 年的前 5 年中，每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路，5 年修成，通车前该特产只能在当地销售；高三总复习人教A 版 数学（理）公路通车后的 5 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入 x 万元，可获利润 Q159160(60 x)21192(60 x)万元问从 10 年的总利润看，该规划方案是否具有实施价值？高三总复习人教A 版 数学（理）思路探究 先由二次函数性质求出实施规划前每年获得的最大利润，从而得10年的总利润W1，再由已知求实施规划后的前5年、后5年的最大利润，得10年的总利润W2，最后比较W1、W2的大小得出结论高三总复习
9、人教A 版 数学（理）课堂记录 在实施规划前，由题设 P 1160(x40)2100(万元)知，每年只需投入 40 万，即可获得最大利润 100 万元则10 年的总利润为 W1100101000(万元)实施规划后的前 5年中，修建公路的费用为 305150 万元，又由题设 P 1160(x40)2100 知，每年投入 30 万元时，利润 P7958(万元)前 5年的利润和为7958 515027758(万元)高三总复习人教A 版 数学（理）设在公路通车的后 5 年中，每年用 x 万元投资于本地的销售，而用剩下的(60 x)万元投资于外地的销售，则其总利润为W2 1160(x40)21005(1
10、59160 x21192 x)55(x30)24950.当 x30 时，(W2)max4950(万元)从而 10 年的总利润为27758 4950(万元)27758 49501000，故该规划方案有极大实施价值高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 (2010亳州模拟)某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出：当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加一辆租出的车辆每月需要维护费200元(1)当每辆车月租金为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？高三总复习人教A 版 数学（理）解：(1)当每
11、辆车的月租金定为 3600 元时，未租出的车辆数为360030005012，所以这时租出 88 辆车(2)设每辆车的月租金为 x(x3000)元，则租赁公司的月收益为 f(x)(100 x300050)(x200)，整理得f(x)150(8000 x)(x200)高三总复习人教A 版 数学（理）150 x2164x32000 150(x4100)2304200.所以当 x4100 时，f(x)最大最大值为 f(4100)304200，即当每辆车的月租金定为 4100 元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为 304200 元高三总复习人教A 版 数学（理）热点之二 指数模型的应用指数函数、对数
12、函数的应用是高考的一个重点内容，常与增长率相结合进行考查在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为yN(1p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式另外，指数方程常利用对数进行计算指数、对数在很多问题中可转化应用高三总复习人教A 版 数学（理）例2 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数；(精确到0.1万人)(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)课堂记录(1)1年后该城
13、市人口总数为y1001001.2%100(11.2%)；2年后该城市人口总数为y100(11.2%)(11.2%)100(11.2%)2；高三总复习人教A 版 数学（理）3年后该城市人口总数为y100(11.2%)2(11.2%)100(11.2%)3；x年后该城市人口总数为y100(11.2%)x(xN*)(2)10年后该城市人口总数为y100(11.2%)101001.01210112.7(万人)，高三总复习人教A 版 数学（理）(3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人，即 100(11.2%)x120，于是 1.012x120100，xlog1.012120100log1.012
14、1.215.315(年)约 15 年后人口达到 120 万高三总复习人教A 版 数学（理）思维拓展 指数函数、对数函数和幂函数是高中新学的内容，应用极为广泛“细胞分裂的变化规律是指数函数”的模型；“地震震级的变化规律是对数函数”的模型；“正方体的体积与边长之间的关系是幂函数”的模型高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 急剧增加的人口已经使我们赖以生存的地球不堪重负控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们面前(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在2008年底为12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2018年底至多有多少亿？以下数据供计
15、算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.00430.00650.00730.11730.3010数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN0.47710.69901.09621.11761.1392高三总复习人教A 版 数学（理）解：(1)设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，n年后人口数为2y.则y(1x)n2y，则当n40时，y30，即y(1x)402y，(1x)402.两边取对数，则40lg(1x)lg2，则 lg(1x)lg2400.007525，1x1.017，得 x1.7%.故每年人口平均增长率是 1.7%，高三总
16、复习人教A 版 数学（理）(2)依题意，y12.48(11%)10，得lgylg12.4810lg1.011.1392，y13.78，故人口至多有13.78亿高三总复习人教A 版 数学（理）热点之三 不同函数模型的比较这一类问题属于开放性的探究题，函数模型是不确定的，需要去探索尝试，主要是从题目给出的信息中，选出符合要求的函数模型，同时要注意检验，然后利用所求出的函数模型解决问题高三总复习人教A 版 数学（理）例3 某地区的一种特色水果上市时间能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模型拟函数：f(x)pqx；f(x)
17、logqxp；f(x)(x1)(xq)2p(以上三式中p、q均为常数，且q2)高三总复习人教A 版 数学（理）(1)为准确研究其价格走势，应选择哪种价格模拟函数，为什么？(2)若f(1)4，f(3)6，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是1,6其中x1表示4月1日，x2表示5月1日，以此类推)；(3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该水果在哪几个月内价格下跌高三总复习人教A 版 数学（理）课堂记录(1)因为f(x)pqx 是单调函数，f(x)logqxp 是单调函数，f(x)(x1)(xq)2p 中 f(x)3x2(4q2)xq22q.令 f(x)0，得
18、xq 或 xq23，所以 f(x)有两个零点，则可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选 f(x)(x1)(xq)2p 为其模拟函数高三总复习人教A 版 数学（理）(2)由 f(1)4，f(3)6 得p42(3q)2p6解之得p4q4(其中 q2 舍去)f(x)(x1)(x4)24x39x224x12(1x6)(3)由 f(x)3x218x240 解得 2x10时，恒有lgx0.1x.高三总复习人教A 版 数学（理）从近两年的高考试题来看，建立函数模型解决实际问题是高考的热点题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力高三总复习
19、人教A 版 数学（理）例 4(2010湖北高考)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和高三总复习人教A 版 数学（理）(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为 C(
20、x)k3x5，再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x)403x5.而建造费用为 C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)20C(x)C1(x)20 403x56x 8003x56x(0 x10)高三总复习人教A 版 数学（理）(2)f(x)6 2400(3x5)2，令 f(x)0，即 2400(3x5)26.解得 x5，x253(舍去)当 0 x5 时，f(x)0，高三总复习人教A 版 数学（理）当 5x0，故 x5 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)6580015570.当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元高三总复
21、习人教A 版 数学（理）1(2010浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值为_高三总复习人教A 版 数学（理）解析：七月份的销售额为 500(1x%)，八月份的销售额为500(1x%)2，则一月份至十月份的销售总额是 38605002500(1x%)500(1x%)2，根据题意，有 38605002500(1x%)500(1x%)27000，即 25(1x%)25(1x%)266，令 t1
22、x%，则 25t225t660，解得 t65或者 t115(舍去)，故 1x%65，解得 x20.故填 20.答案：20高三总复习人教A 版 数学（理）2(2010江苏高考)将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S(梯形的周长)2梯形的面积，则 S 的最小值是_解析：本题考查函数的实际应用设剪成的小正三角形的边长为 x，则：S(3x)212(x1)32(1x)高三总复习人教A 版 数学（理）43(3x)21x2(0 x1)解法一：利用导数求函数最小值S(x)43(3x)21x2，S(x)43(2x6)(1x2)(3x)2(2x)(1x2)2 432(3x1)(x3)(1x2)2.高三总复习人教A 版 数学（理）令 S(x)0，0 x1，x13，当 x0，13 时，S(x)0，S(x)递增；故当 x13时，S 最小，最小值是32 33.高三总复习人教A 版 数学（理）解法二：利用函数的方法求最小值令 3xt，t(2,3)，1t13，12，则：S 43t2t26t8 4318t26t1，故当1t38，即 x13时，S 最小，最小值是32 33.答案：32 33高三总复习人教A 版 数学（理）
