1、五 与圆有关的比例线段课时过关能力提升基础巩固1 已知圆内两弦相交,其中一条弦长为 8 cm,且被交点平分,另一条被交点分为 14 的两部分,则这条弦长为()A.2 cmB.8 cmC.10 cmD.16 cm解析设所求弦长为 5k cm,则由相交弦定理得 42=k4k,则 k=2,k=-2(舍去),故所求弦长为 5k=52=10(cm).答案 C2 如图,CD 是O 的直径,ABCD,垂足为点 P,若 AP=4,PD=2,则 PO 等于()A.2B.3C.5D.7解析设O 的半径为 r,APPB=CPPD,AP=PB=4,PD=2,42=(2r-2)2,r=5.PO=r-2=3.答案 B3
2、如图,PT 是外切两圆的公切线,T 为切点,PAB,PCD 分别为这两圆的割线.若 PA=3,PB=6,PC=2,则 PD 等于()A.4B.8C.9D.12解析 PT2=PAPB=PCPD,则 PD=9.答案 C4 已知O 的弦 AB 过弦 CD 的三等分点 M,AM 和 BM 是方程 3x2+2mx+18=0 的两个根,则 CD 的长为()A.B.2 C.3 D.4 解析AM 和 BM 是 3x2+2mx+18=0 的两根,AMBM=6.又 AB 和 CD 相交于点 M,CMMD=AMBM=6.CD CD=6,CD=3.答案 C5 如图,A,B,C 是O 上的三点,BE 切O 于点 B,D
3、 是 CE 与O 的交点.若BAC=70,则CBE=;若 BE=2,CE=4,则 CD=.解析由于 BE 是O 的切线,则CBE=BAC=70.由切割线定理,知 EB2=EDEC.又 BE=2,CE=4,则 ED=1.所以 CD=CE-ED=3.答案 70 36 从圆外一点 P 向圆引两条割线 PAB,PCD,分别与圆相交于点 A,B,C,D,如果 PA=4,PC=3,CD=5,那么AB=.解析由割线定理,得 PAPB=PCPD,故 4(4+AB)=3(3+5),解得 AB=2.答案 27 如图,P 为O 外一点,过 P 点作O 的两条切线,切点分别为 A,B.过 PA 的中点 Q 作割线交O
4、 于 C,D 两点.若 QC=1,CD=3,则 PB=.解析由题意知 PA=PB.PA 切O 于点 A,由切割线定理,得 QA2=QCQD=1(1+3)=4.QA=2,PA=22=4=PB.答案 48 如图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC,已知 PA=2,PC=4,圆心 O 到 BC 的距离为,则圆O 的半径为 .解析如图,取 BC 的中点 D,连接 OD 和 OB,则 ODBC.已知 OD=,则 BC=2BD=2 -=2 -.由于 PA 是圆 O 的切线,所以 PA2=PBPC.又 PA=2,PC=4,所以 PB=2.则 BC=PC-PB=2.所以 2 -=2,
5、解得 OB=2,即圆 O 的半径为 2.答案 29 如图,已知 P 为O 外一点,OP 与O 交于点 A,割线 PBC 与O 交于点 B,C,且 PB=BC.如果 OA=7,PA=2,求 PC 的长.解如图,延长 PO 交O 于点 E,则 PAPE=PBPC.设 PC=x,又 PB=BC,PB=x.又 PE=PA+AE=PA+2AO=16,216=xx,解得 x=8.又 x0,x=8.PC=8.10 如图,过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点),再作割线 PBC 与圆交于 B,C.若 PA=6,AC=8,BC=9,求 AB的长.解PA 是圆的切线,PBC 是圆的割线,PAB=PCA.又
6、P=P,PABPCA.PBPA=PAPC,即 PA2=PBPC=PB(PB+BC),即 36=PB(PB+9),解得 PB=3.又由 ABAC=PAPC 得,AB8=612,解得 AB=4.能力提升1 如图,已知 PA,PB 为O 的切线,切点分别为 A,B,PA=7,在劣弧 AB 上任取一点 C,过点 C 作O 的切线,分别交 PA,PB 于点 D,E,则PDE 的周长是()A.7B.10C.14D.28解析DA,DC 为O 的切线,DA=DC.同理 EB=EC.PDE 的周长=PD+PE+DE=(PD+DC)+(PE+CE)=(PD+DA)+(PE+EB)=PA+PB=7+7=14.答案
7、C2 如图,在半径为 的O 中,弦 AB,CD 相交于点 P,若 PA=PB=2,PD=1,则圆心 O 到弦 CD 的距离为()A.B.C.D.解析由相交弦定理得 PAPB=PCPD.又 PA=PB=2,PD=1,则 PC=4,CD=PC+PD=5.如图,过圆心 O 作 CD 的垂线 OE 交 CD 于点 E,则 E 为 CD 的中点,OE=-()-.答案 B3 如图,ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BDAC.过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E,AD与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6,BD=5,则线段 CF 的长为 .解析已知 AE 为圆的切线,由切割线
8、定理,得 AE2=EBED.又 AE=6,BD=5,可解得 EB=4.EAB 为弦切角,且 AB=AC,EAB=ACB=ABC.EABC.又 BDAC,四边形 EBCA 为平行四边形.BC=AE=6,AC=EB=4.由 BDAC,得ACFDBF,.又 CF+BF=BC=6,CF=.答案 4 如图,ABC 内接于圆 O,直线 l 平行 AC 交线段 BC 于点 D,交线段 AB 于点 E,交圆 O 于点 G,点 F,交圆 O在点 A 的切线于点 P.若点 D 是 BC 的中点,PE=6,ED=4,EF=6,则 PA 的长为 .解析D 是 BC 的中点,DEAC,AE=BE,且BDE=C.又 PA
9、 切圆 O 于点 A,PAE=C,可得BDE=PAE.BED=PEA,BEDPEA,可得 .BEAE=AE2=PEED=24,解得 AE=2.AE2=GEEF,GE=4.PG=2.PA2=PGPF=24.PA=2.答案 2 5O 为ABC 的内切圆,AB=9,BC=8,CA=10,点 D,E 分别为 AB,AC 上的点,且 DE 为O 的切线,求ADE 的周长.解如图,设O 与ABC 各边的切点分别为 F,G,H,则 AF=AH,BF=BG,CG=CH,且 AF+BF=9,BG+CG=8,CH+AH=10,AF=AH=5.5,BF=BG=3.5,CG=CH=4.5.又 DE 是O 的切线,DI
10、=DF,EI=EH.ADE 的周长=AD+DE+EA=AD+DI+EI+EA=AF+AH=2AF=25.5=11.6 如图,已知O1 与O2 相交于 A,B 两点,过点 A 作O1 的切线交O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别交O1,O2 于点 D,E,DE 与 AC 相交于点 P.(1)求证:ADEC.(2)若 AD 是O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.分析(1)转化为证明D=E;(2)先利用 PA2=PBPD 求出 PB 的长,再利用相交弦定理求出 PE 的长,再由AD2=DBDE 求 AD 的长.(1)证明连接 AB,如图.AC 与O1 相切,BAC
11、=ADB.又BAC=BEC,ADB=BEC,ADEC.(2)解PA 与O1 相切,PA2=PBPD.又 PD=PB+BD=PB+9,62=PB(PB+9),解得 PB=3(负值舍去).又 BE 与 AC 交于点 P,BPPE=APPC,3PE=62,PE=4,DE=DB+BP+PE=9+3+4=16.又 DA 与O2 相切,DA2=DBDE=916=144.AD=12.7 如图,直线 AB 经过O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,O 交直线 OB 于 E,D 两点,连接 EC,CD.(1)求证:直线 AB 是O 的切线.(2)若 tanCED=,O 的半径为 3,求 OA 的长.分析(1)转化为证明 OCAB 即可;(2)先证明BCDBEC,再借助于对应边成比例,解方程得 OA 的长.(1)证明如图,连接 OC.OA=OB,CA=CB,OCAB.AB 是O 的切线.(2)解ED 是直径,ECD=90.在 RtECD 中,tanCED=.BC 是O 的切线,BC2=BDBE,BCD=E.又CBD=EBC,BCDBEC.设 OA=x,则 BD=OB-OD=x-3,BC=2BD=2(x-3),BE=BO+OE=x+3,2(x-3)2=(x-3)(x+3),解得 x=5 或 x=3(舍去).OA=5.