1、21 合情推理与演绎推理21.1 合情推理第二章 推理与证明 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理 2.了解合情推理在数学发现中的作用第二章 推理与证明1归纳推理和类比推理归纳推理类比推理 定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的_都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的_，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)全部对象某些已知特征归纳推理类比推理 特征归纳推理是由部分到整体、由_到_的推理类比推理是由特殊到_的推理2.合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已
2、有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为_通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理 过程从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想个别一般特殊合情推理1.归纳推理的特点(1)归纳推理是由几个已知的特殊对象，归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想等(2)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，需要经过逻辑证明和实践检验因此，归纳推理不能作为数学证明的工具(3)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么得到的一般性结论也就越可靠(4)归纳推理
3、能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题2类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，即以原有认识作基础，类比出新的结果(2)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理不能作为数学证明的工具(3)如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)归纳推理是由一般到一般的推理过程()(2)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确()(3)
4、类比推理得到的结论可以作为定理应用()答案：(1)(2)(3)鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的因此，它们在形状上也应该类似，所以“锯子”应该是齿形的该过程体现了()A归纳推理 B类比推理C没有推理D以上说法都不对答案：B数列 5，9，17，33，x，中的 x 等于()A47 B65C63 D128答案：B在数列an中，a10，an12an2，则猜想 an_解析：因为 a10212，an12an2，所以 a22a122222，a32a22426232，a42a3212214242，猜想 an2n2.答案：2n2探究点 1 数与式的推
5、理(1)给出下面的等式：19211，1293111，123941 111，1 2349511 111，12 34596111 111，猜测 123 45697 等于()A1 111 110 B1 111 111C1 111 112 D1 111 113(2)已知数列an的第 1 项 a11，且 an1 an1an(n1，2，3，)，试归纳出这个数列的通项公式【解】(1)选 B.由几组数据观察可知，等号左边变化的依次为1 和 2，12 和 3，123 和 4，1 234 和 5，12 345 和 6，等号右边依次为 2 个 1，3 个 1，4 个 1，5 个 1，6 个 1，因此猜测当等号左边为
6、 123 456 和 7 时，对应等号右边为 7 个 1.(2)当 n1 时，a11；当 n2 时，a2 11112；当 n3 时，a31211213；当 n4 时，a41311314.通过观察可得，数列的前 4 项都等于相应序号的倒数，由此归纳出 an1n.由已知数、式进行归纳推理的步骤(1)要注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律(2)要注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点(4)运用归纳推理得出一般结论 1.观察下列式子：112131，112131732，11213 1152，则 仿 照 上 面 的 规 律，可 猜 想 此 类
7、 不 等 式 的 一 般 形 式 为_解析：观察式子可得规律：不等号的左侧是 1121312n11，共(2n11)项的和；不等号的右侧是n12(nN*)故猜想此类不等式的一般形式为 1121312n11n12(nN*)答案：1121312n11n12(nN*)2如图是杨辉三角的前 5 行，试写出第 8 行，并归纳、猜想其一般规律11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1解：第 8 行：1 7 21 35 35 21 7 1.一般规律：(1)每行左、右的数字具有对称性；(2)两斜边的数字都是 1，其余数字等于它“肩”上两数字之和；(3)奇数行中间一项最大，偶数行中间两项相等且最大 探究点
8、 2 几何图形中的归纳推理(1)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示按照图中的规律，第 n(nN*)个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2 B8n2C6n2 D8n2(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：图(1)图(2)他们研究过图(1)中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的 1，4，9，16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289B1 024C1 225 D1 378【解析】(1)从可以看出，从图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多 6 根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为 8
9、根，故可归纳出第 n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为 6n2.(2)记三角形数构成的数列为an，则 a11，a2312，a36123，a4101234，可得通项公式为 an123nn（n1）2.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为 bnn2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得 n 都为正整数的只有 1 225.【答案】(1)C(2)C归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面图形或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需将图形问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理解答该类问题的一般策略是：1.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”其中的“筹”原意是指孙子算经中记
10、载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，如图所示表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各个数位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推例如 6 613 用算筹表示就是 _|，那么 5 288 用算筹可表示为()解析：选 C.由题意知，5 288 的各个数位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位用纵式表示，十位、千位用横式表示，则 5 288 用算筹可表示为.2图(1)是棱长为 1 的小正方体，图(2)(3)是由这样的小正方体摆放而成的按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第 1层、第 2
11、 层、第 3 层将第 n 层的小正方体的个数记为 Sn.解答下列问题：(1)按照要求填表：n1234Sn136(2)S10_；(3)Sn_(nN*)解析：第 1 层：1 个；第 2 层：3 个，即(12)个；第 3 层：6个，即(123)个；第 4 层：10 个，即(1234)个；.由此猜想，第 n 层的小正方体的个数为上一层的小正方体的个数加上 n，所以 Sn123nn（n1）2(nN*)，S1055.答案：(1)10(2)55(3)n（n1）2探究点 3 类比推理及其应用(1)(2018山西太原模拟)我国古代数学名著九章算术的论割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆
12、周合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式 11111中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 11xx 求得 x 512.类比上述过程，则32 32()A3 B 1312C6 D2 2(2)如图，在 RtABC 中，C90.设 a，b，c 分别表示 3条边的长度，由勾股定理，得 c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想【解】(1)选 A.令32 32 m(m0)，两边平方，得3232 32 m2，即 32mm2，解得 m3(m1 舍去)(2)如题图，在 RtABC 中，C90.设 a，b，c 分别表示 3 条边的长度由勾股
13、定理，得 c2a2b2.类似地，如图所示，在四面体 PDEF 中，PDFPDEEDF90.设 S1，S2，S3 和 S 分别表示PDF，PDE，EDF 和PEF 的面积，相应于直角三角形的两条直角边 a，b 和 1 条斜边 c，图中的四面体有 3 个“直角面”S1，S2，S3 和 1 个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想 S2S21S22S23.若本例(2)中“由勾股定理，得 c2a2b2”换成“cos2 Acos2 B1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想解：如图，在 RtABC 中，cos2 Acos2 Bbc2ac2a2b2c21.于是把结论类比到四面体 PABC中，我们猜想
14、，四面体 PABC中，若三个侧面 PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且分别与底面所成的角为，则 cos2 cos2 cos2 1.类比推理的一般模式A 类事物具有性质 a，b，c，d，B 类事物具有性质 a，b，c(a，b，c 分别与 a，b，c相似或相同)，则 B 类事物可能具有性质d(d 与 d相似或相同)1.设数列an是以 d 为公差的等差数列，数列bn是以 q 为公比的等比数列将数列an的相关量或关系式输入“LHQ 型类比器”左端的入口处，经过“LHQ 型类比器”后从右端的出口处输出数列bn的相关量或关系式，则右侧的“？”处应该是_解析：由题目中的类比的对应关系可知 Bnb1(q)n
15、1.答案：Bnb1(q)n12对一个边长为 1 的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成 33 方格，接着用中心和四个角的 5 个小正方形，构成如图1 所示的几何图形，其面积 S159；第二步，将图 1 的 5 个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图 2所示的几何图形，其面积 S2592；依次类推，到第 n 步，所得图形的面积 Sn59n.若将以上操作类比推广到棱长为 1 的正方体中，则到第 n 步，所得几何体的体积 Vn_解析：类比到空间中，第一步，将棱长为 1 的正方体分割成33327 个相等的小正方体，接着取中心的那个小正方体和八个顶点处的 8 个小正方体，共 9 个
16、小正方体，所得几何体的体积 V1 92713；第二步，将第一步中的 9 个小正方体中的每个小正方体都进行与第一步相同的操作，所得几何体的体积V2132；依次类推，到第 n 步，所得几何体的体积 Vn13n.答案：13n1已知数列：1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，则该数列的第 k(kN*)项为()Aakak1a2kBak1aka2k1Cak1aka2kDak1aka2k2解析：选 D.由已知数列的前 4 项归纳可得，该数列的第 k 项是从以 1 为首项，a 为公比的等比数列的第 k 项(ak1)开始的连续k 项的和，故该数列的第 k 项为 ak1aka2k2.2(2018漳州期末)我
17、们知道，在平面内，点(x0，y0)到直线 AxByC0 的距离公式为 d|Ax0By0C|A2B2，通过类比的方法，可求得在空间中，点(2，4，1)到平面 x2y3z30 的距离为()A3 B5C8 147D3 5解析：选 C.类比点(x0，y0)到直线 AxByC0 的距离 d|Ax0By0c|A2B2，可知在空间中，点(2，4，1)到平面 x2y3z30 的距离为|2833|149 8 147.3.将全体正整数排成一个三角形数阵(如图)：按照以上排列的规律，第 n(n3，nN*)行从左向右的第 3 个数为_解析：前(n1)行共有正整数 12(n1)n2n2(个)，因此第 n 行第 3 个数
18、是全体正整数中第n2n23 个，即为n2n62.答案：n2n624观察下列各式：918，16412，25916，361620，这些等式反映了自然数间的某种规律，设 n 表示自然数，该种规律用关于 n 的等式表示为_解析：由已知四个式子可分析规律(n2)2n24n4.答案：(n2)2n24n4知识结构深化拓展归纳推理和类比推理的比较归纳推理类比推理相同点根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，提出猜想不同点特点 由部分到整体，由个别到一般由特殊到特殊推理过程从一类事物中的部分事物具有的属性，猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征，根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放