1、1.2应用举例第1课时距离问题课时过关能力提升基础巩固1在ABC中,若A=60,B=45,BC=32,则AC= ()A.43B.23C.3D.32解析:在ABC中,ACsinB=BCsinA,得AC=BCsinBsinA=322232=23.答案:B2在ABC中,已知a=4,b=6,C=120,则sin A的值为 ()A.5719B.217C.338D.-5719解析:c2=a2+b2-2abcos C=42+62-246cos 120=76,则c=219.由asinA=csinC,得sin A=asinCc=5719.答案:A3已知A,B两地相距10 km,B,C两地相距20 km,且ABC
2、=120,则A,C两地相距()A.10 kmB.103 kmC.105 kmD.107 km答案:D4如图,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20,灯塔B在观察站C的南偏东40,则灯塔A与灯塔B的距离为() A.a kmB.3a kmC.2a kmD.2a km解析:由题意知,在ABC中,AC=BC=a km,ACB=120,则AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=a2+a2-2a2cos 120=3a2,故AB=3a km.答案:B5如图,B,C两点在河的两岸,在河岸AC测量BC的距离有下列四组数据,较适宜测量的数据是() A.,c,B.
3、b,c,C.c,D.b,答案:D6某人向正东方向走了x km后向右转了150,然后沿新方向走了3 km,结果离出发点恰好为3 km,那么x的值为().A.3B.23C.23或3D.3解析:如图,若设出发点为A,则有AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC,则(3)2=x2+9-2x3cos 30,解得x=23或x=3.答案:C7如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,分别在A,B点望对岸的标记物C,测得CAB=30,CBA=75,AB=120 m,则河的宽度CD为.解析:tan 30=CDAD,tan 75=CDDB,又AD+DB=AB=120 m,ADtan 30=(120-A
4、D)tan 75.AD=603 m.故CD=60 m.答案:60 m8一艘船在海上由西向东航行,在A处望见灯塔C在船的东北方向,半小时后在B处望见灯塔C在船的北偏东30方向,航速为30海里/时,当船到达D处时望见灯塔C在船的西北方向,求A,D两点间的距离.解如图,在ABC中,A=45,ABC=120,AB=15,ACB=15,由正弦定理,得ACsin120=15sin15,AC=32+6215.AD=2AC=15(3+3)(海里).答:A,D两点间的距离是15(3+3)海里.9海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75,距离为126 n mile;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30,距离为83
5、n mile;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东60,求:(1)A处与D处之间的距离;(2)灯塔C与D处之间的距离.解由题意,画出示意图.(1)在ABD中,由已知得ADB=60,B=45,AB=126 n mile.由正弦定理得AD=ABsin60sin 45=24(n mile).(2)在ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2ADACcos 30=242+(83)2-2248332=192,故CD=83(n mile).答:A处与D处之间的距离为24 n mile,灯塔C与D处之间的距离为83 n mile.能力提升1在ABC中,已知B=60,最大边与最小边的比为3+1
6、2,则三角形的最大角为().A.60B.75C.90D.115解析:设最大边为a,最小边为c,则最大角为A,最小角为C,且sinAsinC=sin(120-C)sinC=3+12,整理得tan C=1.又0C120,C=45.A=180-(B+C)=180-(60+45)=75.答案:B2如图,某炮兵阵地位于A点,两个观察所分别位于C,D两点.已知ACD为等边三角形,且DC=3 km,当目标出现在B点时,测得CDB=45,BCD=75,则炮兵阵地与目标的距离约是()A.1.1 kmB.2.2 kmC.2.9 kmD.3.5 km解析:CBD=180-BCD-CDB=60.在BCD中,由正弦定理
7、,得BD=CDsin75sin60=6+22.在ABD中,ADB=45+60=105.由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos 105=3+(6+2)24+236+226-24=5+23.则AB=5+232.9(km).故炮兵阵地与目标的距离约是2.9 km.答案:C3已知A船在灯塔C北偏东80,且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C北偏西40,A,B两船的距离为3 km,则B到C的距离为.解析:如图所示,在ABC中,ACB=40+80=120,AB=3 km,AC=2 km.设BC=a km.由余弦定理,得cosACB=BC2+AC2-AB22BCAC,即cos 120=a2+
8、4-94a,解得a=6-1或a=-6-1(舍去),即B到C的距离为(6-1)km.答案:(6-1)km4某观测站C在A城的南偏西20的方向,由A城出发有一条公路,公路走向是南偏东40,在公路上测得距离C 31 km的B处有一人正沿公路向A城走去,走了20 km后到达D处,此时C,D之间相距21 km,问此人还要走多远才能到达A城?解如图,CAB=60,BD=20,CB=31,CD=21.在BCD中,由余弦定理,得cosBDC=BD2+CD2-CB22BDCD=202+212-31222021=-17,则sinBDC=437.在ACD中,ACD=BDC-CAD=BDC-60.由正弦定理,得AD=
9、CDsinACDsin60.sinACD=sin(BDC-60)=sinBDCcos 60-cosBDCsin 60=5314,AD=21531432=15(km).答:此人还要走15 km才能到达A城.5如图,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45方向,此人向北偏西75方向前进30 km到达D,看到A在他的北偏东45方向,B在他的北偏东75方向,试求这两座建筑物之间的距离.解由题意得,DC=30,ADB=BCD=30=BDC,DBC=120,ADC=60,DAC=45.在BDC中,由正弦定理,得BC=DCsinBDCsinDBC=30sin30sin120=10.在ADC中,由正弦定理,得AC=DCsinADCsinDAC=30sin60sin45=35.在ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=(35)2+(10)2-23510cos 45=25,解得AB=5.答:这两座建筑物之间的距离为5 km.