1、2020-2021学年浙江省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题)1. 椭圆3x2+4y212的焦点坐标为（ ）A.(1,0)B.(0,1)C.(7,0)D.(0,7)2. 在空间直角坐标系中，已知M(-1,0,2)，N(3,2,-4)，则MN的中点Q关于平面xOy的对称点坐标是（ ）A.(1,1,-1)B.(-1,1,-1)C.(1,-1,-1)D.(1,1,1)3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BD-A1的余弦值为（ ）A.12B.33C.22D.324. 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V
2、柱体Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（ ）A.158B.162C.182D.3245. 方程|x|+|y|=2所表示的曲线大致形状为（ ）A.B.C.D.6. 已知曲线C:mx2+ny2=1则下列命题不正确的是（ ）A.若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n0，则C是圆，其半径为mC.若mn0，则C是两条直线7. 已知焦点在x轴上的椭圆方程为x24a+y2a2-1=1，随着a的增大该椭圆的形状（ ）A.越接近于圆B.越扁C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆8. 已知以F1(-2,0)，F2(2,0)为
3、焦点的椭圆与直线x+3y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A.32B.26C.27D.429. 如图，在菱形ABCD中，BAD=60，线段AD，BD的中点分别为E，F现将ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是（ ）A.(6,3)B.(6,2C.(3,2D.(3,23)10. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I，G分别为PF1F2的内心和重心，当IGx轴时，椭圆的离心率为（ ）A.13B.12C.32D.63二、填空题)11. 双曲线x24-y231的实轴长为_，渐近线方程是_12.
4、 已知点P(x,y)在椭圆x24+y231上运动，则x+2y的最大值是_；点P到直线l:x-2y-10=0的最小距离是_13. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_14. 已知三棱锥P-ABC，PA平面ABC，ACBC，PA=2，AC=BC=1，则三棱锥P-ABC外接球的体积为_15.
5、若F是双曲线C：x2-y281的右焦点，P是双曲线C左支上一点，A(0,4)，则APF的周长的最小值为_16. 若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_三、解答题)17. 如图，在ABC中，ABC=60，BAC=90，AD是BC上的高，沿AD把ABC折起，使BDC=90 （1）证明：平面ADB平面BDC；（2）设E为BC的中点，求异面直线AE与DB的夹角的余弦值18. 已知椭圆C:x2a2+y2b21(ab0)的离心率为22，且过点(2,1) （1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦
6、点，倾斜角为60的直线交椭圆C于A，B两点，求AOB的面积19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PAPD，DAB60 （1）证明：ADPB；（2）若PB=6，ABPA2，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值20. 已知焦点在x轴上椭圆的长轴的端点分别为A，B，O为椭圆的中心，F为右焦点，且AFBF=-1，离心率e=22 （1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰好为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题1. A
7、2. D3. B4. B5. D6. B7. A8. C9. C10. A二、填空题11. 4,y=32x12. 4,65513. 26,2-114. 615. 1216. x220+y216=1三、解答题17. 解1：由BDC=90及（1）知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，分别以DB、DC、DA所在直线x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0,3)，E(12，32，0)，AE(12,32,-3)，DB(1,0,0)，所以AE与DB夹角的余弦值为cosAE，DB|AE|DB|1212242222解
8、2：过E点作EM/BD，交DC于M，EM12，AMAD2+DM2212，而BDADC，即EM平面ADC，所以EMAM，异面直线AE与DB的夹角为AEM，则cosAEMEMAE12222222218. 由题eca22a22c2， b2=a2-c2=c2，把点(2,1)代入椭圆C:x22c2+y2c21，得c2=3，故椭圆C的方程为：x26+y231；过右焦点F2(3,0)，斜率k3的直线方程：y3x-3，联立x26+y231y3x-3，化简得7x2-123x+12=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x21237x1x2127，所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(1
9、237)2-4127=467，故SAOB12|-3|x1-x2|32(x1+x2)2-4x1x266719. 证明：取AD中点O，连结PO，BO，BD， 底面ABCD是菱形，且DAB60， ABD是等边三角形， POAD， PAPD， PAD是等腰三角形， POAD， POBOO， AD平面PBO， PB平面PBO， ADPB ABPA2， 由（1）知PAB，ABD中边长为2的正三角形，则PO=3，BO=3， PB=6， PO2+BO2PB2，即POBO，又由（1）知，BOAD，POAD， 以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则D(-1,0,0)，P(0,
10、0,3)，C(-2,3,0)，B(0,3,0)，PB=(0,3,-3)，DP=(1,0,3)，CD=(1,-3,0)，设n=(x,y,z)是平面PCD， nDP=x+3z=0nCD=x-3y=0，取y1，得n=(3,1,-1)，设直线PB与平面PDC所成角为，则sin=|PBn|PB|n|=2365=105， 直线PB与平面PDC所成角的正弦值为10520. 解：（1）设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，则A(-a,0)，B(a,0)，F(c,0) AFBF=-1 (c+a,0)(c-a,0)=-1 c2-a2=-1 离心率e=22， ca=22 a2=2，c2=1 b2=a2-c2=1 椭圆的标准方程为x22+y2=1；（2）假设存在直线l交椭圆与点P，Q两点，且F恰好为PQM的垂，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，因为M(0,1)，F(1.0)，所以kPQ=1于是设直线l为y=x+m，由y=x+mx22+y2=1得3x2+4mx+2m2-2=0 x1+x2=-4m3，x1x2=2m2-23 MPFQ=0 x1(x2-1)+y2(y1-1)=0 2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0=0 22m2-23-4m3(m-1)+m2-m=0=0 m=-43或m=1（舍去）故直线l的方程为y=x-43
