1、基础诊断考点突破课堂总结第5讲 复数 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的概念 形如_(aR，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和_ 若b0，则abi为实数；若a0且b0，则abi为纯虚数 复数相等 abicdi_(a，b，c，dR)共轭复数 abi与cdi共轭_(a，b，c，dR)ac且bdac且bdabi虚部基础诊断考点突破课堂总结复平
2、面用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标平面为复平面，_称为实轴，y 轴称为虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ对应的复数为 zabi，则向量OZ的长度叫做复数 zabi 的模|z|abi|_x轴a2b2基础诊断考点突破课堂总结2.复数的几何意义复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集 C 与复平面内所有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数 zabi复平面内的点_(a，bR).(2)复数 zabi(a，bR)平面向量OZ.Z(a，b)基础诊断考点突破课堂总结3.复数的运算设 z
3、1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：z1z2abicdi（abi）（cdi）（cdi）（cdi）acbd（bcad）ic2d2(cdi0).基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(3)原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就
4、是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()解析(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破课堂总结2.(2016全国卷)设(1i)x1yi，其中 x，y 是实数，则|xyi|()A.1 B.2C.3D.2解析 由(1i)x1yi，得 xxi1yi(x，yR)，xy1，所以|xyi|1i|2.答案 B 基础诊断考点突破课堂总结3.(教材改编)在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.48iB.82i C.24iD.4i 解析 A(6，5)，B(2，3)，线段AB的中点C(2
5、，4)，则点C对应的复数为z24i.答案 C 基础诊断考点突破课堂总结4.(2015全国卷)若 a 为实数，且2ai1i 3i，则 a等于()A.4 B.3 C.3 D.4解析 由2ai1i 3i，得2ai(3i)(1i)24i，即 ai4i，因为 a 为实数，所以 a4.故选 D.答案 D 基础诊断考点突破课堂总结解析 z43i12i（43i）（12i）（12i）（12i）105i52i，z2i.答案 2i 5.(教材改编)已知(12i)z43i，则z_.基础诊断考点突破课堂总结考点一 复数的有关概念【例 1】(1)i 为虚数单位，i607 的共轭复数为()A.i B.i C.1 D.1(2
6、)(2017西安铁中期末)设 i 是虚数单位，复数ai2i是纯虚数，则实数 a()A.2 B.12C.12D.2基础诊断考点突破课堂总结解析(1)因为 i607(i2)303ii，i 的共轭复数为 i.所以应选 A.(2)ai2i（ai）（2i）5（2a1）（a2）i5是纯虚数，2a10 且 a20，a12，故选 B.答案(1)A(2)B 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部.基础诊
7、断考点突破课堂总结【训练 1】(1)(2017河南六市联考)如果复数2bi12i(其中 i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么 b 等于()A.6 B.23C.23D.2(2)设复数 abi(a，bR)的模为 3，则(abi)(abi)_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由2bi12i（2bi）（12i）522b（b4）i5，则 22bb4，得 b23.(2)因为复数 abi(a，bR)的模为 3，即 a2b2 3，所以(abi)(abi)a2b2i2a2b23.答案(1)C(2)3 基础诊断考点突破课堂总结考点二 复数的几何意义【例2】(1)(2014全国卷)设复数z1，
8、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2()A.5B.5C.4iD.4i(2)(2016全国卷)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A.(3，1)B.(1，3)C.(1，)D.(，3)基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由题意得 z22i，z1z2(2i)(2i)5，故选 A.(2)由复数 z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限得m30，m10，解得3m1，故选 A.答案(1)A(2)A 基础诊断考点突破课堂总结规律方法 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点
9、，或者用向量相等直接给出结论即可.基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)(2017南昌一中月考)复数zi(1i)在复平面内所对应点的坐标为()A.(1，1)B.(1，1)C.(1，1)D.(1，1)(2)(2016北京卷)设aR，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则a_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)因为zi(1i)1i，故复数zi(1i)在复平面内所对应点的坐标为(1，1)，故选D.(2)(1i)(ai)(a1)(a1)i，由已知得a10，解得a1.答案(1)D(2)1 基础诊断考点突破课堂总结考点三 复数的运算【例 3】(1)(2016全国卷)若 z12i，则4iz
10、z1()A.1 B.1 C.i D.i(2)(2015全国卷)若 a 为实数，且(2ai)(a2i)4i，则 a()A.1 B.0 C.1 D.2基础诊断考点突破课堂总结解析(1)4izz14i（12i）（12i）1i.(2)因为 a 为实数，且(2ai)(a2i)4a(a24)i4i，得 4a0 且 a244，解得 a0，故选 B.答案(1)C(2)B 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度：(1i)22i；1i1ii；1i1ii；abiib
11、ai；i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN).基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(1)(2016北京卷)复数12i2i()A.i B.1i C.i D.1i(2)1i1i6 2 3i3 2i_.解析(1)12i2i（12i）（2i）（2i）（2i）2i4i2i24i25i5i，故选 A.基础诊断考点突破课堂总结(2)原式（1i）226（2 3i）（3 2i）（3）2（2）2i6 62i3i 651i.答案(1)A(2)1i 基础诊断考点突破课堂总结思想方法 1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比较大小.3.注意复数的虚部是指在abi(a，bR)中的实数b，即虚部是一个实数.