1、第2课时三角恒等变换的应用课时过关能力提升基础巩固1.若函数f(x)=-sin2x+12(xR),则f(x)是()A.最小正周期为2的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为2的偶函数D.最小正周期为的偶函数解析:f(x)=-1-cos2x2+12=12cos 2x.故选D.答案:D2.函数y=cos2x+4-sin2x+4是()A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为2的奇函数D.周期为2的偶函数解析:y=cos2x+4-sin2x+4=cos 2x+4=-sin 2x,则其为奇函数,周期T=22=.答案:A3.函数y=sinx1+cosx的最小正周期等于()A.2B.C.2D.
2、3解析:y=2sinx2cosx22cos2x2=tanx2,T=12=2.答案:C4.函数y=12sin 2x+sin2x的值域是()A.-12,32B.-32,12C.-22+12,22+12D.-22-12,22-12解析:y=12sin 2x+sin2x=12sin 2x+1-cos2x2=12+22sin2x-4,值域为12-22,12+22.答案:C5.设函数f(x)=2cos2x+sin2x-6(其中0),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为6,则的值为.解析:f(x)=1+cos 2x+32sin 2x-12cos 2x=sin2x+6+1.由2x+6=2k+2(
3、kZ),得x=k+6(kZ).又0,当k=0时,f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x=6=6,故=1.答案:16.函数f(x)=3sin x-cos x的单调递增区间是.解析:f(x)=232sinx-12cosx=2sinx-6,令-2+2kx-62+2k(kZ),则-3+2kx23+2k(kZ).即单调递增区间是-3+2k,23+2k(kZ).答案:-3+2k,23+2k(kZ)7.如图,圆心角为直角的扇形AOB,半径OA=2,点C是AB上任一点,且CEOA于点E,CFOB于点F,设AOC=x,矩形OECF的面积为f(x).求:(1)f(x)的解析式;(2)矩形OECF面积的
4、最大值.解:(1)f(x)=OEEC=OCcos xOCsin x=4sin xcos x=2sin 2x,f(x)=2sin 2x,x0,2.(2)f(x)=2sin 2x,x0,2,02x0,|2的最小正周期为,则()A.f(x)在0,2上单调递减B.f(x)在4,34上单调递减C.f(x)在0,2上单调递增D.f(x)在4,34上单调递增解析:f(x)=sin(x+)+cos(x+)=2sinx+4,函数的最小正周期是,T=2=,=2.f(x)是奇函数,+4=k,kZ,即=k-4,kZ.|0)的最小正周期为2,则=()A.1B.2C.3D.4解析:f(x)=32sin 2x-1+cos2
5、x2=32sin 2x-12cos 2x-12=sin2x-6-12,则22=2,=2.答案:B3.关于函数f(x)=sin 2x-cos 2x,有下列命题:函数y=f(x)的最小正周期为;直线x=4是y=f(x)图象的一条对称轴;点8,0是y=f(x)图象的一个对称中心;将y=f(x)的图象向左平移4个单位长度,可得到y=2sin 2x的图象.其中真命题的序号是.解析:f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin2x-4,则T=22=;f4=2sin24-4=1,f4不是函数f(x)的最值,则直线x=4不是y=f(x)的图象的一条对称轴;f8=2sin28-4=0,则点8,0是y=f(x)
6、的图象的一个对称中心;将y=f(x)的图象向左平移4个单位长度,可得到y=2sin2x+4-4=2sin2x+4的图象,不是y=2sin 2x的图象,故正确,错误.答案:4.在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为,则cos 2的值等于.答案:7255.函数f(x)=15sinx+3+cosx-6的最大值为.解析:函数f(x)=15sinx+3+cosx-6=15sinx+3+cos-x+6=15sinx+3+sinx+3=
7、65sinx+365.答案:656.已知函数f(x)=(sinx-cosx)sin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间.解:(1)由sin x0,得xk(kZ),故f(x)的定义域为xR|xk,kZ因为f(x)=(sinx-cosx)sin2xsinx=2cos x(sin x-cos x)=sin 2x-cos 2x-1=2sin2x-4-1,所以f(x)的最小正周期T=22=.(2)函数y=sin x的单调递增区间为2k-2,2k+2(kZ).由2k-22x-42k+2,xk(kZ),得k-8xk+38,xk(kZ).所以f(x)的单调递增区间为k-8,k和k,k+38(kZ).7.已知函数f(x)=3sin 2x-2sin2x,(1)若点P(1,-3)在角的终边上,求f()的值;(2)若x-6,3,求f(x)的值域.解:(1)因为点P(1,-3)在角的终边上,所以sin =-32,cos =12.所以f()=3sin 2-2sin2=23sin cos -2sin2=23-3212-2-322=-3.(2)f(x)=3sin 2x-2sin2x=3sin 2x+cos 2x-1=2sin2x+6-1,因为x-6,3,所以-62x+656.所以-12sin2x+61.所以f(x)的值域为-2,1.