1、2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义课时过关能力提升基础巩固1.在四边形ABCD中,AB+AD=AC,则四边形ABCD是 ()A.任意四边形B.矩形C.正方形D.平行四边形答案:D2.如图,四边形ABCD是梯形,ADBC,则OA+BC+AB等于()A.CDB.OCC.DAD.CO解析:OA+BC+AB=OA+AB+BC=OC.答案:B3.如图,AB+BC+CD等于()A.AE+EDB.AC+DCC.AE+ABD.AD+DE解析:AB+BC+CD=AD,AE+ED=AD.答案:A4.在平行四边形ABCD中,若|BC+BA|=|BC+AB|,则四边形ABCD是()A.菱形B.
2、矩形C.正方形D.不确定解析:由题意知|BC+BA|=|BD|.又|BC+AB|=|AD+AB|=|AC|,|BD|=|AC|.四边形ABCD是矩形.答案:B5.如图所示的方格中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=()A.OHB.OGC.FOD.EO解析:设a=OP+OQ,以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a=OP+OQ,则a与FO长度相等,方向相同,所以a=FO.答案:C6.若向量a与b共线,且|a|=|b|=1,则|a+b|=.解析:a与b同向时,|a+b|=|a|+|b|=2;a与b反向时,|a+b|=|a|-|b|=0.答案:0或
3、27.若向量OA+OB平分AOB,则OA与OB的关系是.解析:以OA与OB为邻边作OACB,则OA+OB=OC.又OC平分AOB,所以OACB是菱形,即|OA|=|OB|.答案:|OA|=|OB|8.如图,在梯形ABCD中,ADBC,则OA+AB+BC+CD=.解析:由题意,得OA+AB+BC+CD=OB+BC+CD=OC+CD=OD.答案:OD9.已知|OA|=|a|=3,|OB|=|b|=3,AOB=60,求|a+b|.解:如图,|OA|=|OB|=3,四边形OACB为菱形.连接OC,AB,则OCAB,设垂足为D.AOB=60,AB=|OA|=3,在RtBDC中,CD=332,|OC|=|
4、a+b|=3322=33.10.如图,两个力F1和F2同时作用在一个质点O上,且F1的大小为3 N,F2的大小为4 N,且AOB=90,试作出F1和F2的合力,并求出合力的大小.分析:由于力是向量,按平行四边形法则作出合力,再利用勾股定理求出合力的大小.解:如图,OA表示力F1,OB表示力F2,以OA,OB为邻边作OACB,则OC是力F1和F2的合力.在OAC中,|OA|=3,|AC|=|OB|=4,且OAAC,则|OC|=|OA|2+|AC|2=5,即合力的大小为5 N.能力提升1.设a表示“向东走5 km”,b表示“向南走5 km”,则a+b表示()A.向东走10 kmB.向南走10 km
5、C.向东南走10 kmD.向东南走52 km解析:如图,AC=a+b,|AB|=5,|BC|=5,且ABBC,则|AC|=52,BAC=45.答案:D2.已知向量ab,且|a|b|0,则向量a+b的方向()A.与向量a的方向相同B.与向量a的方向相反C.与向量b的方向相同D.与向量b的方向相反解析:根据向量加法的几何意义,a+b的方向应与a的方向一致.答案:A3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式运算的结果与向量AC1共线的有()(AB+BC)+CC1;(AA1+A1D1)+D1C1;(AB+BB1)+B1C1;(AA1+A1B1)+B1C1.A.1个B.2个C.3个D.4个答案:
6、D4.如图所示,O(0,0),A(-2,-1),B(0,1),则|OA+OB|=.答案:25.已知|a|=3,|b|=2,则|a+b|的取值范围是.解析:|a|-|b|=3-2=1,|a|+|b|=3+2=5,又|a|-|b|a+b|a|+|b|,则有1|a+b|5.答案:1,56.如图,P,Q是ABC的边BC上的两点,且BP=QC.求证:AB+AC=AP+AQ.证明AB=AP+PB,AC=AQ+QC,AB+AC=AP+PB+AQ+QC.PB与QC大小相等,方向相反,PB+QC=0,故AB+AC=AP+AQ+0=AP+AQ.7.如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆AB上,ACW=150,BCW=120,分别求A处和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).解:如图,设CE,CF分别表示A,B处所受的力,10 N的重力用CG表示,则CE+CF=CG.易得ECG=180-150=30,FCG=180-120=60,|CE|=|CG|cos 30=1032=53.|CF|=|CG|cos 60=1012=5.A处所受的力的大小为53 N,B处所受的力的大小为5 N.